Pada artikel ini kita akan mempelajari materi persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat adalah sebuah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi sama dengan dua.
Bentuk umum:
\(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\)
Dimana, \(\displaystyle a\ne 0\) dan a, b, c adalah anggota himpunan bilangan real.
Ada beberapa bentuk khusus persamaan kuadrat, yaitu:
- Persamaan Kuadrat Biasa, yaitu persamaan kuadrat dimana nilai a = 1. Contohnya \(\displaystyle {{x}^{2}}-10x+21=0\).
- Persamaan Kuadrat Murni, yaitu persamaan kuadrat dimana nilai b = 0. Contohnya \(\displaystyle 5{{x}^{2}}-125=0\).
- Persamaan kuadrat tak lengkap, yaitu persamaan kuadrat dimana nilai c = 0. Contohnya \(\displaystyle 2{{x}^{2}}-8x=0\)
- Persamaan Kuadrat Rasional, yaitu persamaan kuadrat yang nilai a, b, dan c adalah bilangan-bilangan rasional. Contohnya \(\displaystyle \frac{1}{4}{{x}^{2}}+\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}=0\)
Quote by Pythagoras
Pada materi persamaan kuadrat kita lebih banyak berbicara tentang akar-akar persamaan kuadrat, akar-akar persamaan kuadrat disini yaitu nilai x itu sendiri.
Akar-akar Persamaan Kuadrat
Nilai yang memenuhi persamaan kuadrat \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) disebut akar persamaan kuadrat dan dinotasikan dengan \(\displaystyle {{x}_{1}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}\). Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan beberapa cara, yaitu:
Faktorisasi
Bentuk \(\displaystyle {{x}^{2}}+bx+c=0\) diuraikan kebentuk
\(\displaystyle \left( {x-{{x}_{1}}} \right)\left( {x-{{x}_{2}}} \right)=0\)
Contoh:
Soal 1 – Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}+7x+12=0\)
Maka kita dapat menyelesaikan menjadi, carilah dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya adalah 12, dan jika kedua bilangan tersebut dijumlahkan hasilnya adalah 7. Tentu bilangan-bilangan itu adalah 3 dan 4.
\(\displaystyle {{x}^{2}}+7x+12=0\)
\(\displaystyle \left( {x+3} \right)\left( {x+4} \right)=0\)
\(\displaystyle \left( {x+3} \right)=0\,\,atau\,\,\left( {x+4} \right)=0\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}=-3\,\,atau\,\,{{x}_{2}}=-4\)
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat adalah \(\displaystyle HP=\left\{ {-4,-3} \right\}\)
Soal 2 (untuk nilai \(\displaystyle a>1\)) – Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle 2{{x}^{2}}-11x+12=0\)
Pertama-tama kita kalikan koefisien \(\displaystyle {{{x}^{2}}}\) dengan konstanta \(\displaystyle \underbrace{{2{{x}^{2}}-11x+12}}_{{24}}=0\)
Kemudian carilah dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 24 dan jika kedua bilangan tersebut dijumlahkan hasilnya -11. Dua bilangan tersebut adalah -3 dan -8, kedua bilangan ini kita isi pada bentuk pemfaktoran \(\displaystyle \frac{1}{a}\left( {ax+…} \right)\left( {ax+…} \right)=0\) menjadi:
\(\displaystyle \frac{1}{2}\left( {2x-3} \right)\left( {2x-8} \right)=0\)
\(\displaystyle \require{cancel} \frac{1}{\cancel{2}}\left( {2x-3} \right)\left( \cancelto{x-4}{2x-8} \right)=0\)
\(\displaystyle \left( {2x-3} \right)\left( {x-4} \right)=0\)
\(\displaystyle \left( {2x-3} \right)=0\,\,atau\,\,\left( {x-4} \right)=0\)
\(\displaystyle 2x=3\,\,atau\,\,x=4\)
\(\displaystyle x=\frac{3}{2}\,\,atau\,\,x=4\)
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat adalah \(\displaystyle HP=\left\{ {\frac{3}{2},4} \right\}\)
***
Melengkapkan kuadrat sempurna
Kita akan menjabarkan bentuk \(\displaystyle {{x}^{2}}+bx+c=0\) menjadi:
\(\displaystyle {{\left( {x+p} \right)}^{2}}=q\)
Contoh:
Soal 1 – Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}+6x-1=0\).
Kita ubah menjadi \(\displaystyle {{x}^{2}}+6x=1\)
disini kita tambahkan kedua ruas dengan \(\displaystyle {{\left( {\frac{1}{2}b} \right)}^{2}}\) atau \(\displaystyle {{\left( {\frac{1}{2}\times 6} \right)}^{2}}=9\).
\(\displaystyle {{x}^{2}}+6x+9=1+9\)
\(\displaystyle {{\left( {x+3} \right)}^{2}}=10\)
\(\displaystyle x+3=\pm \sqrt{{10}}\)
\(\displaystyle x=\pm \sqrt{{10}}-3\)
Jadi, \(\displaystyle {{x}_{1}}=\sqrt{{10}}-3\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}=-\sqrt{{10}}-3\)
\(\displaystyle HP=\left\{ {-\sqrt{{10}}-3,\sqrt{{10}}-3} \right\}\)
Soal 2 – Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}-8x+4=0\)
Penyelesaian:
\(\displaystyle {{x}^{2}}-8x=-4\) kedua ruas ditambahkan 16
\(\displaystyle {{x}^{2}}-8x+16=-4+16\)
\(\displaystyle {{\left( {x-4} \right)}^{2}}=12\)
\(\displaystyle x-4=\pm \sqrt{{12}}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}x=\pm \sqrt{{12}}+4\\x=\pm 2\sqrt{3}+4\end{array}\)
Jadi, \(\displaystyle {{x}_{1}}=2\sqrt{3}+4\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}=-2\sqrt{3}+4\)
***
Menggunakan Rumus abc
Persamaan kuadrat \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\), memiliki akar-akar persamaan:
\(\displaystyle {{x}_{{1,2}}}=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}\)
Pembuktian rumus abc ini dijelas secara mendetil dalam pembahasan dibawah ini.
Kita akan kalikan setiap suku pada \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) dengan \(\displaystyle 4a\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4abx+4ac=0\\4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4abx+4ac+\left( {{{b}^{2}}-{{b}^{2}}} \right)=0\\\left( {4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4abx+{{b}^{2}}} \right)-\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)=0\end{array}\)
\(\displaystyle {{\left( {2ax+b} \right)}^{2}}-\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)=0\)
Kemudian setiap suku yang ada kita akarkan.
\(\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{{{{{\left( {\left( {2ax+b} \right)} \right)}}^{2}}}}\pm \sqrt{{\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)}}=0\\\left( {2ax+b} \right)\pm \sqrt{{\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)}}=0\end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}2ax=-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}\\x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}\end{array}\)
Sehingga diperoleh rumus abc:
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[white, 5px, border: 2px solid black]{ {{x}_{{1,2}}}=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}}\)
Nilai \(\displaystyle {{{b}^{2}}-4ac}\) disebut diskriminan dari persamaan \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) dan disimbolkan dengan huruf D, sehingga rumus di atas dapat ditulis menjadi:
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[white, 5px, border: 2px solid black] {{{x}_{{1,2}}}=\frac{{-b\pm \sqrt{D}}}{{2a}}}\)
Contoh:
Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat \(\displaystyle 5{{x}^{2}}+4x-1=0\).
Penyelesaian:
\(\displaystyle 5{{x}^{2}}+4x-1=0\) dengan \(\displaystyle a=5,\,\,b=4,\,\,c=-1\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}D={{4}^{2}}-4.5.\left( {-1} \right)\\D=16+20\\D=36\end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{{1,2}}}=\frac{{-4\pm \sqrt{{36}}}}{{2.5}}\\{{x}_{{1,2}}}=\frac{{-4\pm 6}}{{10}}\end{array}\)
maka akar-akarnya adalah:
\(\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{{-4+6}}{{10}}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{2}{{10}}\\{{x}_{1}}=\frac{1}{5}\end{array}\)
dan
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{2}}=\frac{{-4-6}}{{10}}\\{{x}_{2}}=\frac{{-10}}{{10}}\\{{x}_{2}}=-1\end{array}\)
***
Sifat Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar-akar
Tanpa kita mengetahui nilai \(\displaystyle {{x}_{1}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}\) dari akar-akar persamaan kuadrat ternyata kita dapat mencari nilai penjumlahan, selisih, dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Dimisalkan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) adalah \(\displaystyle {{x}_{1}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}\), dengan menggunakan rumus abc kita peroleh:
\(\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{{-b+\sqrt{D}}}{{2a}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{{-b-\sqrt{D}}}{{2a}}\)
Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}}{{2a}}\\{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{{-2b}}{{2a}}\\{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{{-b}}{a}\end{array}\)
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}}\)
Selisih Akar-akar Persamaan Kuadrat
\(\displaystyle {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\frac{{-b+\sqrt{D}-\left( {-b-\sqrt{D}} \right)}}{{2a}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\frac{{2\sqrt{D}}}{{2a}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\frac{{\sqrt{D}}}{a}\)
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\frac{{\sqrt{D}}}{a}}\)
Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{{\left( {-b+\sqrt{D}} \right)\left( {-b-\sqrt{D}} \right)}}{{\left( {2a} \right)\left( {2a} \right)}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{{{{b}^{2}}-D}}{{4{{a}^{2}}}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{{{{b}^{2}}-\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)}}{{4{{a}^{2}}}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{{4ac}}{{4{{a}^{2}}}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\)
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{c}{a}}\)
Selain itu, terdapat juga rumus hubungan akar yang lainnya:
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={{\left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}}\)
dan,
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}={{\left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}\left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}\)
Contoh
Soal 1
Tentukan nilai \(\displaystyle {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}\) pada persamaan kuadrat \(\displaystyle 8{{x}^{2}}+10x-3=0\).
\(\displaystyle 8{{x}^{2}}+10x-3=0\)
Nilai \(\displaystyle a=8,\,\,b=10,\,\,c=-3\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={{\left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}\)
Maka kita perlu menggunakan sifat penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat.
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{{10}}{8}\\{{x}_{1}}\,.\,\,{{x}_{2}}=\frac{{-3}}{8}\end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={{\left( {-\frac{{10}}{8}} \right)}^{2}}-2\left( {-\frac{3}{8}} \right)\\{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{100}}{{64}}+\frac{6}{8}\\{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{100}}{{64}}+\frac{{48}}{{64}}\\{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{148}}{{64}}\\{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{37}}{{16}}\end{array}\)
***
Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat
Kita tahu bahwa akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) adalah \(\displaystyle {{x}_{1}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}\) dimana:
\(\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{{-b+\sqrt{D}}}{{2a}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{{-b-\sqrt{D}}}{{2a}}\)
dengan \(\displaystyle D\) adalah diskriminan.
Jenis akar-akar persamaan kuadrat berdasarkan diskriminan adalah:
- Dua akar real dan berbeda \(\displaystyle \left( {{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}} \right)\) jika \(\displaystyle D>0\)
- Akar-akarnya kembar / sama dan merupakan bilangan real \(\displaystyle \left( {{{x}_{1}}={{x}_{2}}} \right)\) jika \(\displaystyle D=0\)
- Tidak mempunyai akar-akar yang real (akar-akarnya imaginer) jika \(\displaystyle D<0\)
Contoh
1. Tentukan p agar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}+px+p=0\) mempunyai dua akar real dan berbeda.
\(\displaystyle {{x}^{2}}+px+p=0\) mempunyai dua akar real dan berbeda syaratnya \(\displaystyle D>0\)
\(\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac\)
\(\displaystyle {{p}^{2}}-4.1.p>0\)
\(\displaystyle {{p}^{2}}-4p>0\)
\(\displaystyle p\left( {p-4} \right)>0\)
\(\displaystyle p=0\,\,atau\,\,p=4\)
maka \(\displaystyle p<0\,\,atau\,\,p>4\)
2. Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}-\left( {4+m} \right)x+9=0\) mempunyai akar-akar kembar.
\(\displaystyle {{x}^{2}}-\left( {4+m} \right)x+9=0\) mempunyai akar-akar kembar syaratnya \(\displaystyle D=0\).
\(\displaystyle {{\left( {-\left( {4+m} \right)} \right)}^{2}}-4.1.9=0\)
\(\displaystyle {{\left( {4+m} \right)}^{2}}-36=0\)
\(\displaystyle 16+8m+{{m}^{2}}-36=0\)
\(\displaystyle {{m}^{2}}+8m-20=0\)
\(\displaystyle \left( {m+10} \right)\left( {m-2} \right)=0\)
\(\displaystyle m=-10\,\,atau\,\,m=2\)
***
Soal dan Pembahasan