Pada artikel ini kita akan mempelajari materi persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat adalah sebuah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi sama dengan dua.
Bentuk umum:
\(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\)
Dimana, \(\displaystyle a\ne 0\) dan a, b, c adalah anggota himpunan bilangan real.
Ada beberapa bentuk khusus persamaan kuadrat, yaitu:
- Persamaan Kuadrat Biasa, yaitu persamaan kuadrat dimana nilai a = 1. Contohnya \(\displaystyle {{x}^{2}}-10x+21=0\).
- Persamaan Kuadrat Murni, yaitu persamaan kuadrat dimana nilai b = 0. Contohnya \(\displaystyle 5{{x}^{2}}-125=0\).
- Persamaan kuadrat tak lengkap, yaitu persamaan kuadrat dimana nilai c = 0. Contohnya \(\displaystyle 2{{x}^{2}}-8x=0\)
- Persamaan Kuadrat Rasional, yaitu persamaan kuadrat yang nilai a, b, dan c adalah bilangan-bilangan rasional. Contohnya \(\displaystyle \frac{1}{4}{{x}^{2}}+\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}=0\)
Quote by Pythagoras
Pada materi persamaan kuadrat kita lebih banyak berbicara tentang akar-akar persamaan kuadrat, akar-akar persamaan kuadrat disini yaitu nilai x itu sendiri.
Akar-akar Persamaan Kuadrat
Nilai yang memenuhi persamaan kuadrat \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) disebut akar persamaan kuadrat dan dinotasikan dengan \(\displaystyle {{x}_{1}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}\). Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan beberapa cara, yaitu:
Faktorisasi
Bentuk \(\displaystyle {{x}^{2}}+bx+c=0\) diuraikan kebentuk
\(\displaystyle \left( {x-{{x}_{1}}} \right)\left( {x-{{x}_{2}}} \right)=0\)
Contoh:
Soal 1 – Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}+7x+12=0\)
Maka kita dapat menyelesaikan menjadi, carilah dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya adalah 12, dan jika kedua bilangan tersebut dijumlahkan hasilnya adalah 7. Tentu bilangan-bilangan itu adalah 3 dan 4.
\(\displaystyle {{x}^{2}}+7x+12=0\)
\(\displaystyle \left( {x+3} \right)\left( {x+4} \right)=0\)
\(\displaystyle \left( {x+3} \right)=0\,\,atau\,\,\left( {x+4} \right)=0\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}=-3\,\,atau\,\,{{x}_{2}}=-4\)
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat adalah \(\displaystyle HP=\left\{ {-4,-3} \right\}\)
Soal 2 (untuk nilai \(\displaystyle a>1\)) – Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle 2{{x}^{2}}-11x+12=0\)
Pertama-tama kita kalikan koefisien \(\displaystyle {{{x}^{2}}}\) dengan konstanta \(\displaystyle \underbrace{{2{{x}^{2}}-11x+12}}_{{24}}=0\)
Kemudian carilah dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 24 dan jika kedua bilangan tersebut dijumlahkan hasilnya -11. Dua bilangan tersebut adalah -3 dan -8, kedua bilangan ini kita isi pada bentuk pemfaktoran \(\displaystyle \frac{1}{a}\left( {ax+…} \right)\left( {ax+…} \right)=0\) menjadi:
\(\displaystyle \frac{1}{2}\left( {2x-3} \right)\left( {2x-8} \right)=0\)
\(\displaystyle \require{cancel} \frac{1}{\cancel{2}}\left( {2x-3} \right)\left( \cancelto{x-4}{2x-8} \right)=0\)
\(\displaystyle \left( {2x-3} \right)\left( {x-4} \right)=0\)
\(\displaystyle \left( {2x-3} \right)=0\,\,atau\,\,\left( {x-4} \right)=0\)
\(\displaystyle 2x=3\,\,atau\,\,x=4\)
\(\displaystyle x=\frac{3}{2}\,\,atau\,\,x=4\)
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat adalah \(\displaystyle HP=\left\{ {\frac{3}{2},4} \right\}\)
***
Melengkapkan kuadrat sempurna
Kita akan menjabarkan bentuk \(\displaystyle {{x}^{2}}+bx+c=0\) menjadi:
\(\displaystyle {{\left( {x+p} \right)}^{2}}=q\)
Contoh:
Soal 1 – Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}+6x-1=0\).
Kita ubah menjadi \(\displaystyle {{x}^{2}}+6x=1\)
disini kita tambahkan kedua ruas dengan \(\displaystyle {{\left( {\frac{1}{2}b} \right)}^{2}}\) atau \(\displaystyle {{\left( {\frac{1}{2}\times 6} \right)}^{2}}=9\).
\(\displaystyle {{x}^{2}}+6x+9=1+9\)
\(\displaystyle {{\left( {x+3} \right)}^{2}}=10\)
\(\displaystyle x+3=\pm \sqrt{{10}}\)
\(\displaystyle x=\pm \sqrt{{10}}-3\)
Jadi, \(\displaystyle {{x}_{1}}=\sqrt{{10}}-3\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}=-\sqrt{{10}}-3\)
\(\displaystyle HP=\left\{ {-\sqrt{{10}}-3,\sqrt{{10}}-3} \right\}\)
Soal 2 – Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}-8x+4=0\)
Penyelesaian:
\(\displaystyle {{x}^{2}}-8x=-4\) kedua ruas ditambahkan 16
\(\displaystyle {{x}^{2}}-8x+16=-4+16\)
\(\displaystyle {{\left( {x-4} \right)}^{2}}=12\)
\(\displaystyle x-4=\pm \sqrt{{12}}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}x=\pm \sqrt{{12}}+4\\x=\pm 2\sqrt{3}+4\end{array}\)
Jadi, \(\displaystyle {{x}_{1}}=2\sqrt{3}+4\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}=-2\sqrt{3}+4\)
***
Menggunakan Rumus abc
Persamaan kuadrat \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\), memiliki akar-akar persamaan:
\(\displaystyle {{x}_{{1,2}}}=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}\)
dimana \(\displaystyle {{b}^{2}}-4ac=D\) dengan D adalah Diskriminan maka
\(\displaystyle {{x}_{{1,2}}}=\frac{{-b\pm \sqrt{D}}}{{2a}}\)
Pembuktian rumus abc ini dijelas secara mendetil dalam pembahasan dibawah ini.
Kita akan kalikan setiap suku pada \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) dengan \(\displaystyle 4a\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4abx+4ac=0\\4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4abx+4ac+\left( {{{b}^{2}}-{{b}^{2}}} \right)=0\\\left( {4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4abx+{{b}^{2}}} \right)-\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)=0\end{array}\)
\(\displaystyle {{\left( {2ax+b} \right)}^{2}}-\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)=0\)
Kemudian setiap suku yang ada kita akarkan.
\(\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{{{{{\left( {\left( {2ax+b} \right)} \right)}}^{2}}}}\pm \sqrt{{\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)}}=0\\\left( {2ax+b} \right)\pm \sqrt{{\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)}}=0\end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}2ax=-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}\\x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}\end{array}\)
Sehingga diperoleh rumus abc:
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[white, 5px, border: 2px solid black]{ {{x}_{{1,2}}}=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}}\)
Nilai \(\displaystyle {{{b}^{2}}-4ac}\) disebut diskriminan dari persamaan \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) dan disimbolkan dengan huruf D, sehingga rumus di atas dapat ditulis menjadi:
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[white, 5px, border: 2px solid black] {{{x}_{{1,2}}}=\frac{{-b\pm \sqrt{D}}}{{2a}}}\)
Contoh:
Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat \(\displaystyle 5{{x}^{2}}+4x-1=0\).
Penyelesaian:
\(\displaystyle 5{{x}^{2}}+4x-1=0\) dengan \(\displaystyle a=5,\,\,b=4,\,\,c=-1\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}D={{4}^{2}}-4.5.\left( {-1} \right)\\D=16+20\\D=36\end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{{1,2}}}=\frac{{-4\pm \sqrt{{36}}}}{{2.5}}\\{{x}_{{1,2}}}=\frac{{-4\pm 6}}{{10}}\end{array}\)
maka akar-akarnya adalah:
\(\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{{-4+6}}{{10}}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{2}{{10}}\\{{x}_{1}}=\frac{1}{5}\end{array}\)
dan
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{2}}=\frac{{-4-6}}{{10}}\\{{x}_{2}}=\frac{{-10}}{{10}}\\{{x}_{2}}=-1\end{array}\)
***
Sifat Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar-akar
Tanpa kita mengetahui nilai \(\displaystyle {{x}_{1}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}\) dari akar-akar persamaan kuadrat ternyata kita dapat mencari nilai penjumlahan, selisih, dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Dimisalkan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) adalah \(\displaystyle {{x}_{1}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}\), dengan menggunakan rumus abc kita peroleh:
\(\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{{-b+\sqrt{D}}}{{2a}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{{-b-\sqrt{D}}}{{2a}}\)
Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}}{{2a}}\\{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{{-2b}}{{2a}}\\{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{{-b}}{a}\end{array}\)
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}}\)
Selisih Akar-akar Persamaan Kuadrat
\(\displaystyle {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\frac{{-b+\sqrt{D}-\left( {-b-\sqrt{D}} \right)}}{{2a}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\frac{{2\sqrt{D}}}{{2a}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\frac{{\sqrt{D}}}{a}\)
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\frac{{\sqrt{D}}}{a}}\)
Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{{\left( {-b+\sqrt{D}} \right)\left( {-b-\sqrt{D}} \right)}}{{\left( {2a} \right)\left( {2a} \right)}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{{{{b}^{2}}-D}}{{4{{a}^{2}}}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{{{{b}^{2}}-\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)}}{{4{{a}^{2}}}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{{4ac}}{{4{{a}^{2}}}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\)
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{c}{a}}\)
Selain itu, terdapat juga rumus hubungan akar yang lainnya:
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={{\left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}}\)
dan,
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}={{\left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}\left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}\)
Contoh
Soal 1
Tentukan nilai \(\displaystyle {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}\) pada persamaan kuadrat \(\displaystyle 8{{x}^{2}}+10x-3=0\).
\(\displaystyle 8{{x}^{2}}+10x-3=0\)
Nilai \(\displaystyle a=8,\,\,b=10,\,\,c=-3\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={{\left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}\)
Maka kita perlu menggunakan sifat penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat.
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{{10}}{8}\\{{x}_{1}}\,.\,\,{{x}_{2}}=\frac{{-3}}{8}\end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={{\left( {-\frac{{10}}{8}} \right)}^{2}}-2\left( {-\frac{3}{8}} \right)\\{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{100}}{{64}}+\frac{6}{8}\\{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{100}}{{64}}+\frac{{48}}{{64}}\\{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{148}}{{64}}\\{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{37}}{{16}}\end{array}\)
***
Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat
Kita tahu bahwa akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) adalah \(\displaystyle {{x}_{1}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}\) dimana:
\(\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{{-b+\sqrt{D}}}{{2a}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{{-b-\sqrt{D}}}{{2a}}\)
dengan \(\displaystyle D\) adalah diskriminan.
Jenis akar-akar persamaan kuadrat berdasarkan diskriminan adalah:
- Dua akar real dan berbeda \(\displaystyle \left( {{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}} \right)\) jika \(\displaystyle D>0\)
- Akar-akarnya kembar / sama dan merupakan bilangan real \(\displaystyle \left( {{{x}_{1}}={{x}_{2}}} \right)\) jika \(\displaystyle D=0\)
- Tidak mempunyai akar-akar yang real (akar-akarnya imaginer) jika \(\displaystyle D<0\)
Contoh
1. Tentukan p agar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}+px+p=0\) mempunyai dua akar real dan berbeda.
\(\displaystyle {{x}^{2}}+px+p=0\) mempunyai dua akar real dan berbeda syaratnya \(\displaystyle D>0\)
\(\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac\)
\(\displaystyle {{p}^{2}}-4.1.p>0\)
\(\displaystyle {{p}^{2}}-4p>0\)
\(\displaystyle p\left( {p-4} \right)>0\)
\(\displaystyle p=0\,\,atau\,\,p=4\)
maka \(\displaystyle p<0\,\,atau\,\,p>4\)
2. Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}-\left( {4+m} \right)x+9=0\) mempunyai akar-akar kembar.
\(\displaystyle {{x}^{2}}-\left( {4+m} \right)x+9=0\) mempunyai akar-akar kembar syaratnya \(\displaystyle D=0\).
\(\displaystyle {{\left( {-\left( {4+m} \right)} \right)}^{2}}-4.1.9=0\)
\(\displaystyle {{\left( {4+m} \right)}^{2}}-36=0\)
\(\displaystyle 16+8m+{{m}^{2}}-36=0\)
\(\displaystyle {{m}^{2}}+8m-20=0\)
\(\displaystyle \left( {m+10} \right)\left( {m-2} \right)=0\)
\(\displaystyle m=-10\,\,atau\,\,m=2\)
***
Soal dan Pembahasan
Belajar persamaan kuadrat bukan hanya tentang menyelesaikan soal, tetapi juga tentang memahami pola dan berpikir secara logis, dua hal yang sangat penting dalam matematika. Materi ini mengajak kita untuk mengenali berbagai bentuk persamaan, mencari akar-akar, dan memahami bagaimana grafik parabola terbentuk. Dari pemfaktoran hingga rumus kuadrat, semua metode memberi kita pilihan dalam menyelesaikan persoalan. Sama seperti dalam hidup, terkadang ada lebih dari satu cara untuk sampai ke tujuan.
Matematika memang sering terasa menantang, tapi justru di situlah letak keasyikannya. Persamaan kuadrat mengajarkan kita bahwa setiap masalah punya struktur, dan dengan ketekunan, kita bisa menemukan jawabannya. Tidak semua proses akan langsung berhasil di percobaan pertama, namun setiap langkah adalah bagian dari pembelajaran. Jadi, teruslah berlatih dan jangan takut salah karena di dunia matematika, kesalahan adalah awal dari pemahaman yang lebih dalam.