Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) Kelas 10

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan linear dengan tiga variabel yang harus dicari nilainya. SPLTV sering digunakan dalam berbagai aplikasi seperti fisika, ekonomi, dan teknik.

Bentuk Umum SPLTV

SPLTV dapat dinyatakan dalam bentuk:

\(\displaystyle ax + by + cz = d \) \(\displaystyle ex + fy + gz = h \) \(\displaystyle ix + jy + kz = l \)

Di mana:

• \(\displaystyle x, y, z \) adalah variabel yang dicari.
• \(\displaystyle a, b, c, e, f, g, i, j, k \) adalah koefisien bilangan real.
• \(\displaystyle d, h, l \) adalah konstanta.

Metode Penyelesaian SPLTV

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPLTV:

1. Metode Eliminasi

Metode ini melibatkan penghapusan satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan persamaan, sehingga diperoleh SPL dua variabel.

Langkah-langkah:

1. Eliminasi salah satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan dua persamaan.
2. Ulangi langkah 1 untuk dua persamaan lainnya.
3. Selesaikan SPL dua variabel yang diperoleh.
4. Substitusikan nilai yang ditemukan ke salah satu persamaan awal untuk mendapatkan nilai variabel yang tersisa.

2. Metode Substitusi

Metode ini melibatkan menyusun salah satu persamaan untuk menyatakan satu variabel dalam bentuk variabel lainnya.

Langkah-langkah:

1. Ekspresikan salah satu variabel dalam bentuk dua variabel lainnya dari salah satu persamaan.
2. Substitusikan ekspresi ini ke dalam dua persamaan lainnya sehingga diperoleh SPL dua variabel.
3. Selesaikan SPL dua variabel tersebut.
4. Gunakan nilai yang ditemukan untuk mencari variabel yang tersisa.

3. Metode Matriks (Metode Determinan/Cramer)

Metode ini menggunakan konsep determinan matriks untuk menyelesaikan SPLTV.

Langkah-langkah:

1. Tuliskan SPLTV dalam bentuk matriks \(\displaystyle AX = B \), di mana \(\displaystyle A \) adalah matriks koefisien, \(\displaystyle X \) adalah matriks variabel, dan \(\displaystyle B \) adalah matriks konstanta.
2. Hitung determinan dari matriks \(\displaystyle A \) (\(\displaystyle \det(A) \)).
3. Jika \(\displaystyle \det(A) \neq 0 \), hitung \(\displaystyle x, y, z \) menggunakan rumus Cramer: \(\displaystyle x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, \quad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)}, \quad z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)} \) Di mana \(\displaystyle A_x, A_y, A_z \) adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom tertentu dengan matriks konstanta.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Contoh 1 (Metode Eliminasi)

Diketahui SPLTV berikut: \(\displaystyle x + y + z = 6 \) \(\displaystyle 2x – y + 3z = 14 \) \(\displaystyle -x + 2y – z = -2 \) Tentukan nilai \(\displaystyle x, y, z \).

Penyelesaian:

1. Eliminasi \(\displaystyle z \):
   • Tambahkan persamaan (1) dan (3): \(\displaystyle (x + y + z) + (-x + 2y – z) = 6 + (-2) \) \(\displaystyle 3y = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{3} \)
   • Eliminasi \(\displaystyle z \) dari persamaan (2) dan (3) dengan operasi yang sesuai.
   • Temukan nilai \(\displaystyle x \) dan \(\displaystyle z \).
2. Substitusikan nilai \(\displaystyle y \) ke persamaan pertama untuk mendapatkan nilai \(\displaystyle z \).
3. Dapatkan nilai \(\displaystyle x \) dengan cara yang sama.

Contoh 2 (Metode Matriks)

Selesaikan SPLTV berikut menggunakan metode determinan: \(\displaystyle 2x + y – z = 1 \) \(\displaystyle x – 2y + 3z = 4 \) \(\displaystyle 3x + 3y – 2z = 5 \)

Penyelesaian:

1. Tuliskan matriks koefisien \(\displaystyle A=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2 & 1 & {-1} \\ 1 & {-2} & 3 \\ 3 & 3 & {-2} \end{array}} \right],\,X=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y \\ z \end{array}} \right],\,B=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}} \right]\)
2. Hitung \(\displaystyle \det(A) \).
3. Hitung \(\displaystyle x, y, z \) menggunakan rumus Cramer.

SPLTV dapat diselesaikan dengan berbagai metode, seperti eliminasi, substitusi, dan matriks. Pemilihan metode tergantung pada kompleksitas soal dan preferensi penyelesaian. Pemahaman konsep ini sangat penting dalam menyelesaikan permasalahan di berbagai bidang ilmu.

Demikian materi tentang SPLTV kelas 10. Semoga bermanfaat!