Fungsi komposisi dan invers fungsi komposisi sebenarnya punya ide yang sangat dekat dengan kehidupan sehari-hari: sebuah proses dilakukan, hasilnya masuk ke proses berikutnya, lalu jika ingin kembali ke keadaan awal, proses tersebut harus dibatalkan dari urutan paling akhir.
Bayangkan kamu mengedit sebuah foto. Pertama foto diperbesar, kemudian diberi filter. Jika ingin mengembalikannya, tentu filter harus dilepas lebih dahulu, baru ukuran foto dikembalikan.
Konsep yang sama muncul pada fungsi.
Sebuah nilai \(x\) dapat masuk ke fungsi \(g\), menghasilkan \(g(x)\), lalu hasil tersebut masuk ke fungsi \(f\). Proses keseluruhannya disebut komposisi fungsi.
Ketika seluruh proses ingin dibalik, urutannya juga harus dibalik. Inilah alasan mengapa invers dari komposisi \(f\) setelah \(g\) bukan \(f^{-1}\) setelah \(g^{-1}\), melainkan \(g^{-1}\) setelah \(f^{-1}\).
Kalau ide urutan ini sudah dipahami, banyak rumus yang awalnya terasa seperti hafalan akan terasa jauh lebih masuk akal.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan mampu:
- memahami fungsi komposisi sebagai proses berurutan;
- menentukan nilai fungsi komposisi;
- menentukan bentuk aljabar \(f\circ g\) dan \(g\circ f\);
- memahami bahwa urutan komposisi dapat menghasilkan fungsi yang berbeda;
- menentukan domain fungsi komposisi;
- menentukan salah satu fungsi jika komposisinya diketahui;
- memahami makna invers sebagai proses pembalik;
- menentukan invers dari fungsi komposisi;
- menggunakan hubungan \((f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}\);
- menganalisis syarat agar fungsi komposisi mempunyai invers;
- menyelesaikan persoalan parameter dan komposisi bertingkat;
- mengevaluasi kesalahan umum pada fungsi komposisi dan inversnya.
Mari Berpikir
Misalkan sebuah fungsi \(g\) menambahkan tiga pada suatu bilangan.
$$\displaystyle g(x)=x+3$$
Kemudian fungsi \(f\) mengalikan bilangan dengan dua.
$$\displaystyle f(x)=2x$$
Jika kita mulai dari \(x=4\), fungsi \(g\) bekerja lebih dahulu.
$$\displaystyle 4\to7$$
Kemudian fungsi \(f\) bekerja pada hasil tersebut.
$$\displaystyle 7\to14$$
Jadi, seluruh prosesnya dapat digambarkan seperti ini.
Dalam notasi fungsi, proses tersebut ditulis
$$\displaystyle (f\circ g)(4)=f(g(4))$$
Perhatikan sesuatu yang sangat penting: meskipun simbol \(f\) ditulis lebih dahulu pada \(f\circ g\), fungsi yang dikerjakan lebih dahulu justru \(g\).
Komposisi dibaca dari kanan ke kiri.
Pengertian Fungsi Komposisi
Misalkan terdapat dua fungsi \(f\) dan \(g\).
Komposisi \(f\) dengan \(g\) ditulis
$$\displaystyle (f\circ g)(x)$$
dan didefinisikan sebagai
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))$$
Artinya, \(x\) masuk ke fungsi \(g\) terlebih dahulu. Setelah memperoleh \(g(x)\), hasil tersebut dimasukkan ke fungsi \(f\).
Sementara itu, komposisi \(g\) dengan \(f\) adalah
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))$$
Pada komposisi ini, fungsi \(f\) justru bekerja lebih dahulu.
Urutan Fungsi Sangat Penting
Misalkan
$$\displaystyle f(x)=x+1$$
dan
$$\displaystyle g(x)=2x$$
Kita tentukan \(f\circ g\).
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(2x)$$
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=2x+1$$
Sekarang balik urutannya.
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=g(x+1)$$
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=2(x+1)$$
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=2x+2$$
Ternyata
$$\displaystyle (f\circ g)(x)\neq(g\circ f)(x)$$
Jadi, pada umumnya komposisi fungsi tidak bersifat komutatif.
Kita tidak boleh menukar urutan fungsi sembarangan.
Cara Menentukan Fungsi Komposisi
Strateginya sederhana.
Untuk mencari \(f\circ g\), lihat fungsi yang berada di sebelah kanan terlebih dahulu.
Misalnya
$$\displaystyle f(x)=2x-3$$
dan
$$\displaystyle g(x)=x+4$$
Maka
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))$$
Ganti setiap \(x\) pada fungsi \(f\) dengan \(g(x)=x+4\).
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=2(x+4)-3$$
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=2x+5$$
Jadi, inti komposisi adalah substitusi fungsi ke fungsi lain.
Komposisi dengan Fungsi Kuadrat
Misalkan
$$\displaystyle f(x)=x^2$$
dan
$$\displaystyle g(x)=x+2$$
Maka
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(x+2)$$
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=(x+2)^2$$
Sementara itu,
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=g(x^2)$$
$$\displaystyle (g\circ f)(x)=x^2+2$$
Perhatikan bahwa \((x+2)^2\) berbeda dengan \(x^2+2\).
Kesalahan seperti ini cukup sering terjadi ketika proses substitusi dilakukan terlalu cepat.
Nilai Fungsi Komposisi
Kadang kita tidak diminta mencari bentuk fungsi, tetapi hanya nilai komposisinya pada suatu bilangan.
Misalkan
$$\displaystyle f(x)=3x-1$$
dan
$$\displaystyle g(x)=x^2+2$$
Kita ingin menentukan \((f\circ g)(2)\).
Kerjakan fungsi yang berada di kanan terlebih dahulu.
$$\displaystyle g(2)=2^2+2=6$$
Kemudian masukkan hasilnya ke \(f\).
$$\displaystyle f(6)=3(6)-1=17$$
Jadi,
$$\displaystyle (f\circ g)(2)=17$$
Domain Fungsi Komposisi
Komposisi tidak hanya berbicara tentang rumus. Kita juga harus memastikan bahwa setiap tahap dapat dilakukan.
Untuk
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))$$
nilai \(x\) harus memenuhi dua kondisi:
- \(x\) harus berada pada domain \(g\);
- hasil \(g(x)\) harus berada pada domain \(f\).
Secara ringkas,
$$\displaystyle \operatorname{Dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{Dom}(f)\}$$
Contoh Domain Fungsi Komposisi
Misalkan
$$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-2}$$
dan
$$\displaystyle g(x)=x^2$$
Maka
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=\frac{1}{x^2-2}$$
Penyebut tidak boleh nol.
$$\displaystyle x^2-2\neq0$$
Sehingga
$$\displaystyle x\neq\sqrt2$$
dan
$$\displaystyle x\neq-\sqrt2$$
Jadi, domain komposisinya harus memperhatikan kondisi yang muncul setelah fungsi pertama bekerja.
Menentukan Salah Satu Fungsi dari Komposisi
Kadang fungsi \(f\circ g\) diketahui, tetapi salah satu fungsi belum diketahui.
Misalnya
$$\displaystyle f(x)=2x+1$$
dan
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=6x-3$$
Karena
$$\displaystyle f(g(x))=2g(x)+1$$
maka
$$\displaystyle 2g(x)+1=6x-3$$
$$\displaystyle 2g(x)=6x-4$$
$$\displaystyle g(x)=3x-2$$
Jadi, komposisi dapat digunakan untuk “membongkar” fungsi yang belum diketahui.
Mengingat Kembali Makna Fungsi Invers
Fungsi invers adalah fungsi yang membatalkan kerja fungsi semula.
Jika
$$\displaystyle f(a)=b$$
maka
$$\displaystyle f^{-1}(b)=a$$
Misalnya
$$\displaystyle f(x)=2x+3$$
Fungsi \(f\) melakukan dua proses:
- mengalikan input dengan dua;
- menambahkan tiga.
Untuk membalik prosesnya, urutannya harus dibalik.
Pertama kurangi tiga, kemudian bagi dua.
$$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$$
Perhatikan bahwa \(f^{-1}(x)\) bukan \(\frac{1}{f(x)}\).
Simbol \(-1\) pada invers menunjukkan fungsi pembalik, bukan pangkat negatif seperti pada bilangan.
Kapan Sebuah Fungsi Mempunyai Invers?
Agar sebuah fungsi mempunyai invers yang juga merupakan fungsi, setiap output harus dapat dikembalikan ke tepat satu input.
Dalam pembahasan sekolah, fungsi yang mempunyai invers biasanya dipandang sebagai fungsi bijektif antara domain dan kodomain yang sesuai.
Untuk fungsi linear
$$\displaystyle f(x)=ax+b$$
dengan
$$\displaystyle a\neq0$$
fungsi mempunyai invers pada bilangan real.
Untuk fungsi kuadrat, kita harus lebih berhati-hati karena fungsi kuadrat pada seluruh bilangan real tidak satu-satu.
Contohnya, \(x^2\) menghasilkan nilai yang sama untuk \(2\) dan \(-2\).
Karena itu, domain sering perlu dibatasi, misalnya \(x\geq0\).
Invers Fungsi Komposisi
Sekarang kita masuk ke hubungan terpenting dalam topik ini.
Jika \(f\) dan \(g\) mempunyai invers yang sesuai, maka
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
Perhatikan urutannya.
Komposisi awal:
Untuk kembali dari \(y\) menuju \(x\), kita harus membatalkan fungsi terakhir terlebih dahulu.
Itulah sebabnya urutan invers menjadi terbalik.
Mengapa Urutan Invers Harus Dibalik?
Misalkan kamu memakai kaus kaki terlebih dahulu, kemudian memakai sepatu.
Untuk kembali ke keadaan awal, apakah kaus kaki dilepas lebih dahulu?
Tidak.
Sepatu harus dilepas dahulu, baru kaus kaki.
Fungsi komposisi bekerja dengan logika yang sama.
Jika urutan maju adalah
$$\displaystyle g\to f$$
maka urutan pembaliknya adalah
$$\displaystyle f^{-1}\to g^{-1}$$
Dalam notasi komposisi, itu berarti
$$\displaystyle g^{-1}\circ f^{-1}$$
Membuktikan Rumus Invers Fungsi Komposisi
Misalkan
$$\displaystyle H=f\circ g$$
Kita ingin mencari invers \(H\).
Coba komposisikan \(H\) dengan \(g^{-1}\circ f^{-1}\).
$$\displaystyle (g^{-1}\circ f^{-1})\circ(f\circ g)$$
Dengan sifat asosiatif,
$$\displaystyle g^{-1}\circ(f^{-1}\circ f)\circ g$$
Karena
$$\displaystyle f^{-1}\circ f=I$$
maka
$$\displaystyle g^{-1}\circ I\circ g$$
$$\displaystyle g^{-1}\circ g=I$$
Hasilnya fungsi identitas. Jadi,
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
Dua Cara Menentukan Invers Fungsi Komposisi
Ada dua strategi yang sama-sama benar.
Cara 1: Komposisikan Dulu, Baru Cari Invers
Misalkan
$$\displaystyle f(x)=2x+3$$
dan
$$\displaystyle g(x)=3x-1$$
Pertama cari komposisinya.
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=2(3x-1)+3$$
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=6x+1$$
Sekarang cari inversnya.
$$\displaystyle y=6x+1$$
$$\displaystyle x=\frac{y-1}{6}$$
Jadi,
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-1}{6}$$
Cara 2: Cari Invers Masing-masing, Lalu Balik Urutannya
Invers \(f\) adalah
$$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$$
Invers \(g\) adalah
$$\displaystyle g^{-1}(x)=\frac{x+1}{3}$$
Maka
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=g^{-1}(f^{-1}(x))$$
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{\frac{x-3}{2}+1}{3}$$
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-1}{6}$$
Kedua cara memberikan hasil yang sama.
Domain dan Range pada Invers Komposisi
Ketika fungsi mempunyai invers, domain dan range saling bertukar.
Jika \(H=f\circ g\), maka
- domain \(H^{-1}\) adalah range \(H\);
- range \(H^{-1}\) adalah domain \(H\).
Hal ini penting pada fungsi rasional, akar, dan fungsi yang domainnya dibatasi.
Jangan hanya mencari rumus invers tanpa memeriksa nilai mana yang sebenarnya diperbolehkan.
Kesalahan Umum pada Fungsi Komposisi
Membaca Komposisi dari Kiri ke Kanan
Pada
$$\displaystyle (f\circ g)(x)$$
fungsi \(g\) bekerja terlebih dahulu.
Bukan \(f\).
Menganggap f∘g Sama dengan g∘f
Pada umumnya,
$$\displaystyle f\circ g\neq g\circ f$$
Jika suatu soal kebetulan menghasilkan nilai sama, itu merupakan sifat khusus dari fungsi yang diberikan.
Menganggap Invers Sama dengan Kebalikan
Jika
$$\displaystyle f(x)=2x+3$$
maka
$$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$$
bukan
$$\displaystyle \frac{1}{2x+3}$$
Tidak Membalik Urutan pada Invers Komposisi
Yang benar adalah
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
bukan
$$\displaystyle f^{-1}\circ g^{-1}$$
Mengabaikan Domain
Rumus yang terlihat benar belum tentu berlaku untuk semua bilangan real.
Penyebut tidak boleh nol, isi akar kuadrat harus memenuhi syarat, dan fungsi yang ingin diinvers harus satu-satu pada domain yang dipilih.
Strategi Cepat Menyelesaikan Soal
Ketika menemukan komposisi, lingkari fungsi yang paling kanan. Itulah fungsi yang bekerja pertama.
Ketika menemukan invers komposisi, bayangkan proses maju lalu balik dari tahap terakhir.
Untuk soal parameter, ubah informasi komposisi menjadi persamaan aljabar.
Untuk soal domain, jangan hanya melihat domain masing-masing fungsi. Periksa apakah hasil fungsi pertama boleh masuk ke fungsi berikutnya.
Untuk soal HOTS, jangan buru-buru menghitung. Sering kali sifat komposisi atau invers membuat penyelesaian jauh lebih pendek.
Contoh Soal dan Pembahasan
Level Mudah
Soal 1
Diketahui \(f(x)=x+2\) dan \(g(x)=3x\). Nilai \((f\circ g)(2)\) adalah ….
A. \(6\)
B. \(8\)
C. \(10\)
D. \(12\)
E. \(14\)
Kerjakan \(g\) lebih dahulu.
$$\displaystyle g(2)=6$$
Kemudian
$$\displaystyle f(6)=8$$
Jadi, jawabannya B.
Soal 2
Dengan \(f(x)=x+2\) dan \(g(x)=3x\), nilai \((g\circ f)(2)\) adalah ….
A. \(6\)
B. \(8\)
C. \(12\)
D. \(15\)
E. \(18\)
$$\displaystyle f(2)=4$$
$$\displaystyle g(4)=12$$
Jadi, jawabannya C.
Soal 3
Diketahui \(f(x)=2x-1\) dan \(g(x)=x+4\). Bentuk \((f\circ g)(x)\) adalah ….
A. \(2x+3\)
B. \(2x+5\)
C. \(2x+7\)
D. \(x+7\)
E. \(2x-7\)
$$\displaystyle f(g(x))=2(x+4)-1$$
$$\displaystyle f(g(x))=2x+7$$
Jawaban: C.
Soal 4
Untuk fungsi yang sama pada soal sebelumnya, \((g\circ f)(x)\) adalah ….
A. \(2x+1\)
B. \(2x+2\)
C. \(2x+3\)
D. \(2x+5\)
E. \(x+3\)
$$\displaystyle g(f(x))=(2x-1)+4$$
$$\displaystyle g(f(x))=2x+3$$
Jawaban: C.
Soal 5
Diketahui \(f(x)=x^2\) dan \(g(x)=x+1\). Bentuk \((f\circ g)(x)\) adalah ….
A. \(x^2+1\)
B. \(x^2+x+1\)
C. \((x+1)^2\)
D. \(2x+1\)
E. \(x^2-1\)
$$\displaystyle f(g(x))=f(x+1)$$
$$\displaystyle f(g(x))=(x+1)^2$$
Jawaban: C.
Soal 6
Diketahui \(f(x)=x^2\) dan \(g(x)=x+1\). Bentuk \((g\circ f)(x)\) adalah ….
A. \(x^2+1\)
B. \((x+1)^2\)
C. \(x^2+x\)
D. \(2x^2\)
E. \(x+1\)
$$\displaystyle g(f(x))=g(x^2)$$
$$\displaystyle g(f(x))=x^2+1$$
Jawaban: A.
Soal 7
Jika \(f(x)=3x+2\), maka \(f^{-1}(x)\) adalah ….
A. \(\frac{x+2}{3}\)
B. \(\frac{x-2}{3}\)
C. \(3x-2\)
D. \(\frac{3}{x+2}\)
E. \(\frac{x}{3}+2\)
$$\displaystyle y=3x+2$$
$$\displaystyle x=\frac{y-2}{3}$$
Jadi,
$$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3}$$
Jawaban: B.
Soal 8
Jika \(g(x)=x-5\), maka inversnya adalah ….
A. \(x-5\)
B. \(-x+5\)
C. \(x+5\)
D. \(\frac1{x-5}\)
E. \(5x\)
Fungsi \(g\) mengurangi lima. Proses pembaliknya menambahkan lima.
$$\displaystyle g^{-1}(x)=x+5$$
Jawaban: C.
Soal 9
Diketahui \(f(x)=2x+1\) dan \(g(x)=x-3\). Jika \(h=f\circ g\), maka \(h^{-1}(x)\) adalah ….
A. \(\frac{x-5}{2}\)
B. \(\frac{x+5}{2}\)
C. \(2x+5\)
D. \(\frac{x+3}{2}\)
E. \(\frac{x-1}{2}\)
$$\displaystyle h(x)=2(x-3)+1=2x-5$$
Balik fungsi tersebut.
$$\displaystyle h^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}$$
Jawaban: B.
Soal 10
Jika \(f\) dan \(g\) mempunyai invers, hubungan yang benar adalah ….
A. \((f\circ g)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\)
B. \((f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}\)
C. \((f\circ g)^{-1}=f\circ g^{-1}\)
D. \((f\circ g)^{-1}=g\circ f^{-1}\)
E. \((f\circ g)^{-1}=f^{-1}+g^{-1}\)
Proses yang dilakukan paling akhir harus dibatalkan paling dahulu.
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
Jawaban: B.
Soal 11
Diketahui \(f(x)=2x\) dan \(g(x)=x+3\). Nilai \((f\circ g)^{-1}(10)\) adalah ….
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(4\)
E. \(5\)
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=2(x+3)=2x+6$$
Maka
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-6}{2}$$
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(10)=2$$
Jawaban: B.
Soal 12
Diketahui \(f(x)=x-1\) dan \(g(x)=x^2+2\). Nilai \((f\circ g)(0)\) adalah ….
A. \(-1\)
B. \(0\)
C. \(1\)
D. \(2\)
E. \(3\)
$$\displaystyle g(0)=2$$
$$\displaystyle f(2)=1$$
Jawaban: C.
Soal 13
Diagram proses \(x\to g(x)\to f(g(x))\) menunjukkan ….
A. \(g\circ f\)
B. \(f\circ g\)
C. \(f^{-1}\circ g\)
D. \(g^{-1}\circ f\)
E. \(f+g\)
Fungsi \(g\) bekerja lebih dahulu, lalu \(f\).
Jadi, prosesnya adalah
$$\displaystyle f\circ g$$
Jawaban: B.
Soal 14
Jika \(I(x)=x\) merupakan fungsi identitas, maka \((I\circ g)(x)\) sama dengan ….
A. \(0\)
B. \(x\)
C. \(g(x)\)
D. \(g^{-1}(x)\)
E. \(I^{-1}(x)+g(x)\)
$$\displaystyle (I\circ g)(x)=I(g(x))$$
Fungsi identitas tidak mengubah input.
$$\displaystyle I(g(x))=g(x)$$
Jawaban: C.
Soal 15
Diketahui \(f(x)=x+1\) dan \(g(x)=2x\). Pernyataan yang benar adalah ….
A. \(f\circ g=g\circ f\)
B. \((f\circ g)(x)=2x+1\) dan \((g\circ f)(x)=2x+2\)
C. keduanya sama dengan \(2x+1\)
D. keduanya sama dengan \(2x+2\)
E. kedua komposisi tidak terdefinisi
$$\displaystyle f(g(x))=2x+1$$
Sedangkan
$$\displaystyle g(f(x))=2(x+1)=2x+2$$
Jawaban: B.
Level Sedang
Soal 16
Diketahui \(f(x)=ax+1\), \(g(x)=x-2\), dan \((f\circ g)(x)=3x-5\). Nilai \(a\) adalah ….
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(4\)
E. \(5\)
$$\displaystyle f(g(x))=a(x-2)+1$$
$$\displaystyle f(g(x))=ax-2a+1$$
Bandingkan dengan \(3x-5\). Koefisien \(x\) memberi
$$\displaystyle a=3$$
Jawaban: C.
Soal 17
Diketahui \(f(x)=2x+b\), \(g(x)=x+1\), dan \((g\circ f)(x)=2x+5\). Nilai \(b\) adalah ….
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)
E. \(6\)
$$\displaystyle g(f(x))=2x+b+1$$
Karena hasilnya \(2x+5\),
$$\displaystyle b+1=5$$
$$\displaystyle b=4$$
Jawaban: C.
Soal 18
Diketahui \(f(x)=\frac1{x-1}\) dan \(g(x)=x+2\). Domain \((f\circ g)(x)\) adalah ….
A. \(x\neq1\)
B. \(x\neq-1\)
C. \(x>1\)
D. \(x<-1\)
E. semua bilangan real
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=\frac1{(x+2)-1}$$
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=\frac1{x+1}$$
Penyebut tidak boleh nol.
$$\displaystyle x\neq-1$$
Jawaban: B.
Soal 19
Diketahui \(f(x)=x^2\) dan \(g(x)=\sqrt{x}\). Bentuk \((g\circ f)(x)\) untuk \(x\in\mathbb{R}\) adalah ….
A. \(x\)
B. \(-x\)
C. \(|x|\)
D. \(x^2\)
E. \(\sqrt{x}\)
$$\displaystyle g(f(x))=\sqrt{x^2}$$
Untuk semua bilangan real,
$$\displaystyle \sqrt{x^2}=|x|$$
Jawaban: C.
Soal 20
Diketahui \(f(x)=\sqrt{x+1}\) dan \(g(x)=2x-3\). Domain \((f\circ g)(x)\) adalah ….
A. \(x\leq-1\)
B. \(x\geq-1\)
C. \(x\leq1\)
D. \(x\geq1\)
E. semua bilangan real
$$\displaystyle f(g(x))=\sqrt{2x-3+1}$$
$$\displaystyle f(g(x))=\sqrt{2x-2}$$
Syarat akar:
$$\displaystyle 2x-2\geq0$$
$$\displaystyle x\geq1$$
Jawaban: D.
Soal 21
Diketahui \(f(x)=2x+3\) dan \(g(x)=3x-1\). Invers dari \(f\circ g\) adalah ….
A. \(\frac{x+1}{6}\)
B. \(\frac{x-1}{6}\)
C. \(6x-1\)
D. \(\frac{x-3}{6}\)
E. \(\frac{x+3}{6}\)
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=2(3x-1)+3=6x+1$$
Jadi,
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-1}{6}$$
Jawaban: B.
Soal 22
Untuk \(f(x)=2x+3\) dan \(g(x)=3x-1\), nilai \(g^{-1}(f^{-1}(x))\) adalah ….
A. \(\frac{x-1}{6}\)
B. \(\frac{x+1}{6}\)
C. \(\frac{x-5}{6}\)
D. \(6x+1\)
E. \(6x-1\)
$$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$$
dan
$$\displaystyle g^{-1}(x)=\frac{x+1}{3}$$
Maka
$$\displaystyle g^{-1}(f^{-1}(x))=\frac{\frac{x-3}{2}+1}{3}$$
$$\displaystyle =\frac{x-1}{6}$$
Jawaban: A.
Soal 23
Diketahui \(f(x)=x+4\) dan \(g(x)=\frac1x\). Invers dari \(f\circ g\) adalah ….
A. \(\frac1{x+4}\)
B. \(\frac1{x-4}\)
C. \(\frac{x-4}{x}\)
D. \(4+\frac1x\)
E. \(x-4\)
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=\frac1x+4$$
Misalkan
$$\displaystyle y=\frac1x+4$$
Maka
$$\displaystyle x=\frac1{y-4}$$
Jadi,
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=\frac1{x-4}$$
Jawaban: B.
Soal 24
Diketahui \(f(x)=\frac{x-1}{2}\) dan \(g(x)=3x+4\). Invers dari \(f\circ g\) adalah ….
A. \(\frac{2x+3}{3}\)
B. \(\frac{2x-3}{3}\)
C. \(\frac{3x-2}{2}\)
D. \(\frac{x-3}{2}\)
E. \(3x-2\)
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=\frac{3x+4-1}{2}$$
$$\displaystyle =\frac{3x+3}{2}$$
Balik fungsi tersebut.
$$\displaystyle y=\frac{3x+3}{2}$$
$$\displaystyle x=\frac{2y-3}{3}$$
Jawaban: B.
Soal 25
Diketahui \(f^{-1}(7)=2\) dan \(g^{-1}(2)=5\). Nilai \((f\circ g)^{-1}(7)\) adalah ….
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)
E. \(7\)
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
Maka
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(7)=g^{-1}(f^{-1}(7))$$
$$\displaystyle =g^{-1}(2)=5$$
Jawaban: D.
Soal 26
Diketahui \(g(3)=4\) dan \(f(4)=10\). Nilai \((f\circ g)(3)\) adalah ….
A. \(3\)
B. \(4\)
C. \(7\)
D. \(10\)
E. \(12\)
$$\displaystyle (f\circ g)(3)=f(g(3))$$
$$\displaystyle =f(4)=10$$
Jawaban: D.
Soal 27
Diketahui \(f(x)=2x+1\) dan \((f\circ g)(x)=6x-3\). Fungsi \(g(x)\) adalah ….
A. \(3x-2\)
B. \(3x+2\)
C. \(2x-3\)
D. \(6x-4\)
E. \(3x-1\)
$$\displaystyle 2g(x)+1=6x-3$$
$$\displaystyle 2g(x)=6x-4$$
$$\displaystyle g(x)=3x-2$$
Jawaban: A.
Soal 28
Diketahui \(g(x)=x+2\) dan \((f\circ g)(x)=x^2+4x+3\). Fungsi \(f(x)\) adalah ….
A. \(x^2+1\)
B. \(x^2-1\)
C. \(x^2-4\)
D. \(x^2+4\)
E. \(x^2-2x+1\)
Misalkan \(u=x+2\), sehingga \(x=u-2\).
Perhatikan
$$\displaystyle x^2+4x+3=(x+2)^2-1$$
Maka
$$\displaystyle f(u)=u^2-1$$
Jadi,
$$\displaystyle f(x)=x^2-1$$
Jawaban: B.
Soal 29
Diketahui \(h=f\circ g\) dan \(h^{-1}(x)=2x+1\). Nilai \(h(7)\) adalah ….
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)
E. \(7\)
Jika
$$\displaystyle h^{-1}(x)=2x+1$$
maka invers dari fungsi tersebut adalah
$$\displaystyle h(x)=\frac{x-1}{2}$$
Sehingga
$$\displaystyle h(7)=3$$
Jawaban: B.
Soal 30
Diketahui \(f(x)=\frac1{x-2}\) dan \(g(x)=x^2\). Domain \((f\circ g)(x)\) adalah ….
A. \(x\neq2\)
B. \(x\neq\sqrt2\)
C. \(x\neq-\sqrt2\)
D. \(x\neq\pm\sqrt2\)
E. semua bilangan real
$$\displaystyle f(g(x))=\frac1{x^2-2}$$
Penyebut harus tidak nol.
$$\displaystyle x^2-2\neq0$$
Maka
$$\displaystyle x\neq\pm\sqrt2$$
Jawaban: D.
Level Sulit
Soal 31
Diketahui \(f(x)=\frac{x+1}{x-2}\) dan \(g(x)=2x\). Bentuk \((f\circ g)(x)\) beserta syarat domainnya adalah ….
A. \(\frac{2x+1}{2x-2}\), \(x\neq1\)
B. \(\frac{2x+1}{x-2}\), \(x\neq2\)
C. \(\frac{x+1}{2x-2}\), \(x\neq1\)
D. \(\frac{2x+2}{2x-1}\), \(x\neq\frac12\)
E. \(\frac{x+1}{x-1}\), \(x\neq1\)
$$\displaystyle f(g(x))=\frac{2x+1}{2x-2}$$
Penyebut tidak boleh nol.
$$\displaystyle 2x-2\neq0$$
$$\displaystyle x\neq1$$
Jawaban: A.
Soal 32
Jika \(h(x)=\frac{2x+1}{2x-2}\), maka \(h^{-1}(x)\) adalah ….
A. \(\frac{2x-1}{2x+2}\)
B. \(\frac{2x+1}{2x-2}\)
C. \(\frac{x+2}{2x-1}\)
D. \(\frac{x-1}{2x+1}\)
E. \(\frac{2x-2}{2x+1}\)
$$\displaystyle y=\frac{2x+1}{2x-2}$$
$$\displaystyle 2xy-2y=2x+1$$
$$\displaystyle 2x(y-1)=2y+1$$
$$\displaystyle x=\frac{2y+1}{2y-2}$$
Jadi, fungsi tersebut ternyata merupakan invers dirinya sendiri.
Jawaban: B.
Soal 33
Diketahui \(f(x)=3x-4\) dan \(g(x)=\frac{x+2}{5}\). Invers dari \(f\circ g\) adalah ….
A. \(\frac{5x-14}{3}\)
B. \(\frac{5x+14}{3}\)
C. \(\frac{3x+14}{5}\)
D. \(\frac{5x+3}{14}\)
E. \(\frac{3x-14}{5}\)
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=3\left(\frac{x+2}{5}\right)-4$$
$$\displaystyle =\frac{3x-14}{5}$$
Maka
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{5x+14}{3}$$
Jawaban: B.
Soal 34
Diketahui \(f(x)=x^3+1\) dan \(g(x)=x-2\). Invers dari \(f\circ g\) adalah ….
A. \(\sqrt[3]{x+1}-2\)
B. \(\sqrt[3]{x-1}+2\)
C. \(\sqrt[3]{x}+1\)
D. \((x-1)^3+2\)
E. \(\sqrt{x-1}+2\)
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=(x-2)^3+1$$
Misalkan
$$\displaystyle y=(x-2)^3+1$$
$$\displaystyle y-1=(x-2)^3$$
$$\displaystyle x=\sqrt[3]{y-1}+2$$
Jawaban: B.
Soal 35
Diketahui \(f(x)=\sqrt{x}\) dan \(g(x)=x^2+1\). Fungsi \(f\circ g\) pada seluruh bilangan real tidak mempunyai invers karena ….
A. tidak mempunyai domain
B. hasilnya selalu negatif
C. \(\sqrt{x^2+1}\) tidak satu-satu pada seluruh bilangan real
D. fungsi \(g\) tidak terdefinisi
E. tidak mempunyai range
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2+1}$$
Nilai \(x\) dan \(-x\) menghasilkan output yang sama.
Karena itu, fungsi tidak satu-satu pada seluruh bilangan real.
Jawaban: C.
Soal 36
Diketahui \(f(x)=x^2\) dengan domain \(x\geq0\) dan \(g(x)=x+1\). Invers dari \(f\circ g\) pada domain \(x\geq-1\) adalah ….
A. \(\sqrt{x}+1\)
B. \(\sqrt{x}-1\)
C. \(x^2-1\)
D. \(-\sqrt{x}-1\)
E. \(\sqrt{x-1}\)
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=(x+1)^2$$
Karena \(x\geq-1\), maka \(x+1\geq0\).
$$\displaystyle y=(x+1)^2$$
$$\displaystyle x=\sqrt{y}-1$$
Jawaban: B.
Soal 37
Diketahui \(f(x)=\frac1x\) dan \(g(x)=x-2\). Invers dari \(f\circ g\) adalah ….
A. \(\frac1{x-2}\)
B. \(2+\frac1x\)
C. \(2-\frac1x\)
D. \(\frac1{x+2}\)
E. \(x+2\)
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=\frac1{x-2}$$
Jika
$$\displaystyle y=\frac1{x-2}$$
maka
$$\displaystyle x=2+\frac1y$$
Jadi, jawabannya B.
Soal 38
Diketahui \(f(x)=x+1\) dan \(g(x)=\frac1{x+2}\). Invers dari \(f\circ g\) adalah ….
A. \(\frac1{x+1}-2\)
B. \(\frac1{x-1}-2\)
C. \(\frac1{x-2}+1\)
D. \(1+\frac1{x+2}\)
E. \(\frac{x-1}{x+2}\)
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=\frac1{x+2}+1$$
Misalkan \(y=\frac1{x+2}+1\).
$$\displaystyle y-1=\frac1{x+2}$$
$$\displaystyle x=\frac1{y-1}-2$$
Jawaban: B.
Soal 39
Diketahui \(f(x)=ax\) dan \(g(x)=x+b\), dengan \(b\neq0\). Jika \(f\circ g=g\circ f\), maka nilai \(a\) adalah ….
A. \(-1\)
B. \(0\)
C. \(1\)
D. \(2\)
E. \(b\)
$$\displaystyle f(g(x))=ax+ab$$
Sedangkan
$$\displaystyle g(f(x))=ax+b$$
Agar sama,
$$\displaystyle ab=b$$
Karena \(b\neq0\),
$$\displaystyle a=1$$
Jawaban: C.
Soal 40
Diketahui \(f(x)=2x+1\) dan \(g(x)=ax+b\). Agar \(f\circ g=g\circ f\), hubungan \(a\) dan \(b\) adalah ….
A. \(a=b\)
B. \(a=b-1\)
C. \(a=b+1\)
D. \(a=2b\)
E. \(a+b=0\)
$$\displaystyle f(g(x))=2ax+2b+1$$
$$\displaystyle g(f(x))=2ax+a+b$$
Samakan konstantanya.
$$\displaystyle 2b+1=a+b$$
$$\displaystyle a=b+1$$
Jawaban: C.
Soal 41
Diketahui \(f^{-1}(11)=4\) dan \(g^{-1}(4)=-2\). Nilai \((f\circ g)^{-1}(11)\) adalah ….
A. \(-4\)
B. \(-2\)
C. \(2\)
D. \(4\)
E. \(11\)
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(11)=g^{-1}(f^{-1}(11))$$
$$\displaystyle =g^{-1}(4)=-2$$
Jawaban: B.
Soal 42
Jika \(f\) dan \(g\) bijektif serta memenuhi \((f\circ g)(x)=x\) untuk setiap \(x\), maka ….
A. \(g=f\)
B. \(g=f^{-1}\)
C. \(g=-f\)
D. \(g(x)=0\)
E. \(f\) tidak mempunyai invers
Persamaan
$$\displaystyle f(g(x))=x$$
menyatakan bahwa \(g\) membatalkan kerja \(f\).
Karena keduanya bijektif,
$$\displaystyle g=f^{-1}$$
Jawaban: B.
Soal 43
Diketahui \(h=f\circ g\), \(h^{-1}(x)=2x+3\), dan \(f(x)=x-1\). Fungsi \(g^{-1}(x)\) adalah ….
A. \(2x-1\)
B. \(2x+1\)
C. \(2x+3\)
D. \(x+2\)
E. \(\frac{x-1}{2}\)
Karena
$$\displaystyle h^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
maka
$$\displaystyle g^{-1}=h^{-1}\circ f$$
Sehingga
$$\displaystyle g^{-1}(x)=2(x-1)+3$$
$$\displaystyle g^{-1}(x)=2x+1$$
Jawaban: B.
Soal 44
Diketahui \(f(x)=3x+2\) dan \((f\circ g)(x)=6x-4\). Fungsi \(g(x)\) adalah ….
A. \(2x-2\)
B. \(2x+2\)
C. \(3x-2\)
D. \(6x-6\)
E. \(2x-1\)
$$\displaystyle 3g(x)+2=6x-4$$
$$\displaystyle 3g(x)=6x-6$$
$$\displaystyle g(x)=2x-2$$
Jawaban: A.
Soal 45
Diketahui \(f(x)=\frac1{x-1}\) dan \(g(x)=x+2\). Jika \(h=f\circ g\), pasangan domain \(h\) dan domain \(h^{-1}\) yang benar adalah ….
A. \(x\neq-1\) dan \(x\neq0\)
B. \(x\neq0\) dan \(x\neq-1\)
C. \(x\neq1\) dan \(x\neq0\)
D. semua real dan \(x\neq0\)
E. \(x>0\) dan \(x>-1\)
$$\displaystyle h(x)=\frac1{x+1}$$
Domain \(h\) memenuhi
$$\displaystyle x\neq-1$$
Range \(h\) tidak pernah bernilai nol, sehingga domain \(h^{-1}\) adalah
$$\displaystyle x\neq0$$
Jawaban: A.
Level HOTS
Soal 46
Seorang siswa menulis \((f\circ g)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\). Untuk \(f(x)=x+1\) dan \(g(x)=2x\), analisis yang benar adalah ….
A. siswa benar untuk semua fungsi
B. siswa benar karena komposisi bersifat komutatif
C. siswa salah, invers yang benar adalah \(g^{-1}\circ f^{-1}\)
D. siswa salah karena komposisi tidak mempunyai invers
E. siswa benar hanya karena kedua fungsi linear
Komposisi awal adalah
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=2x+1$$
Inversnya
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$$
Ini sama dengan \(g^{-1}(f^{-1}(x))\), bukan \(f^{-1}(g^{-1}(x))\).
Jawaban: C.
Soal 47
Diketahui \(f(x)=ax-2\), \(g(x)=2x+1\), dan
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-1}{6}$$
Nilai \(a\) adalah ….
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(3\)
D. \(4\)
E. \(6\)
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=a(2x+1)-2$$
$$\displaystyle =2ax+a-2$$
Inversnya memiliki koefisien \(x\) sebesar \(\frac1{2a}\).
Diketahui koefisien tersebut \(\frac16\), sehingga
$$\displaystyle 2a=6$$
$$\displaystyle a=3$$
Untuk \(a=3\), konstanta invers juga menjadi \(-\frac16\), sesuai soal.
Jawaban: C.
Soal 48
Diketahui \(f(x)=2x-1\) dan \(g(x)=ax+b\). Jika
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=x$$
untuk setiap \(x\), nilai \(a\) dan \(b\) adalah ….
A. \(a=\frac12,\ b=\frac12\)
B. \(a=2,\ b=1\)
C. \(a=\frac12,\ b=-\frac12\)
D. \(a=1,\ b=0\)
E. \(a=2,\ b=-1\)
$$\displaystyle f(g(x))=2(ax+b)-1$$
$$\displaystyle =2ax+2b-1$$
Karena harus sama dengan \(x\),
$$\displaystyle 2a=1$$
$$\displaystyle a=\frac12$$
dan
$$\displaystyle 2b-1=0$$
$$\displaystyle b=\frac12$$
Jawaban: A.
Soal 49
Jika \(f\) dan \(g\) bijektif, invers dari \(g^{-1}\circ f^{-1}\) adalah ….
A. \(f^{-1}\circ g^{-1}\)
B. \(g\circ f\)
C. \(f\circ g\)
D. \(g^{-1}\circ f\)
E. \(f^{-1}\circ g\)
Gunakan aturan invers komposisi.
$$\displaystyle (g^{-1}\circ f^{-1})^{-1}$$
Urutan dibalik dan setiap fungsi diinverskan.
$$\displaystyle =(f^{-1})^{-1}\circ(g^{-1})^{-1}$$
$$\displaystyle =f\circ g$$
Jawaban: C.
Soal 50
Diketahui \(f(x)=\sqrt{x}\) dan \(g(x)=x^2-4\). Maka
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-4}$$
Pernyataan yang paling tepat agar fungsi tersebut mempunyai invers adalah ….
A. gunakan domain seluruh bilangan real
B. batasi domain menjadi \(x\geq2\)
C. batasi domain menjadi \(-2\leq x\leq2\)
D. hilangkan syarat \(x^2-4\geq0\)
E. invers tidak mungkin dibuat pada domain apa pun
Domain alaminya adalah \(x\leq-2\) atau \(x\geq2\).
Pada gabungan kedua bagian tersebut, fungsi tidak satu-satu karena \(x\) dan \(-x\) menghasilkan nilai sama.
Jika domain dibatasi menjadi \(x\geq2\), fungsi menjadi satu-satu dan inversnya adalah
$$\displaystyle h^{-1}(x)=\sqrt{x^2+4}$$
Jawaban: B.
Soal 51
Diketahui \(f(x)=1-\frac3x\) dan \(g(x)=x+2\). Jika \(h=f\circ g\), maka \(h^{-1}(x)\) adalah ….
A. \(\frac{1-2x}{1+x}\)
B. \(\frac{1+2x}{1-x}\)
C. \(\frac{x+2}{x-1}\)
D. \(\frac{2x-1}{x+1}\)
E. \(\frac{x-1}{x+2}\)
$$\displaystyle h(x)=1-\frac3{x+2}$$
$$\displaystyle h(x)=\frac{x-1}{x+2}$$
Misalkan
$$\displaystyle y=\frac{x-1}{x+2}$$
$$\displaystyle xy+2y=x-1$$
$$\displaystyle x(y-1)=-(1+2y)$$
$$\displaystyle x=\frac{1+2y}{1-y}$$
Jadi, jawabannya B.
Soal 52
Diketahui \(g(x)=x+1\) dan
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=x^2+2x+5$$
Fungsi \(f(x)\) adalah ….
A. \(x^2+1\)
B. \(x^2+4\)
C. \(x^2+5\)
D. \(x^2-4\)
E. \(x^2+2x+4\)
Karena \(g(x)=x+1\), tulis \(u=x+1\).
Perhatikan
$$\displaystyle x^2+2x+5=(x+1)^2+4$$
Maka
$$\displaystyle f(u)=u^2+4$$
Jadi,
$$\displaystyle f(x)=x^2+4$$
Jawaban: B.
Soal 53
Jika dua fungsi bijektif memenuhi
$$\displaystyle f\circ g=I$$
dan
$$\displaystyle g\circ f=I$$
kesimpulan yang benar adalah ….
A. \(f=g\)
B. \(f\) dan \(g\) saling invers
C. \(f\) dan \(g\) konstan
D. \(f\circ g\) tidak mempunyai invers
E. \(f(x)+g(x)=0\)
Dua persamaan tersebut merupakan definisi hubungan invers.
$$\displaystyle g=f^{-1}$$
dan
$$\displaystyle f=g^{-1}$$
Jadi, keduanya saling invers.
Jawaban: B.
Soal 54
Diketahui \(f(x)=2x+1\). Fungsi \(f\) dikomposisikan dengan dirinya sendiri sebanyak tiga kali. Jika hasilnya disebut \(H\), nilai \(H^{-1}(15)\) adalah ….
A. \(0\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(3\)
E. \(4\)
Komposisi pertama:
$$\displaystyle f(f(x))=4x+3$$
Komposisi ketiga:
$$\displaystyle H(x)=f(4x+3)=8x+7$$
Maka
$$\displaystyle H^{-1}(x)=\frac{x-7}{8}$$
$$\displaystyle H^{-1}(15)=1$$
Jawaban: B.
Soal 55
Diketahui fungsi linear \(h(x)=ax+b\), dengan \(a\neq0\). Jika \(h^{-1}=h\), kondisi yang benar adalah ….
A. hanya \(a=1\) untuk sembarang \(b\)
B. hanya \(a=-1\) dan \(b=0\)
C. \(a=1,b=0\), atau \(a=-1\) dengan sembarang \(b\)
D. \(a=0\) untuk sembarang \(b\)
E. \(a=b\)
Jika \(h^{-1}=h\), maka
$$\displaystyle h(h(x))=x$$
$$\displaystyle a(ax+b)+b=x$$
$$\displaystyle a^2x+b(a+1)=x$$
Maka
$$\displaystyle a^2=1$$
dan
$$\displaystyle b(a+1)=0$$
Diperoleh \(a=1,b=0\), atau \(a=-1\) dengan sembarang \(b\).
Jawaban: C.
Soal 56
Diketahui \(f(x)=x+2\) dan \(g(x)=kx\). Jika \(f\circ g=g\circ f\) untuk setiap \(x\), nilai \(k\) adalah ….
A. \(-2\)
B. \(-1\)
C. \(0\)
D. \(1\)
E. \(2\)
$$\displaystyle f(g(x))=kx+2$$
Sedangkan
$$\displaystyle g(f(x))=k(x+2)=kx+2k$$
Agar sama,
$$\displaystyle 2=2k$$
$$\displaystyle k=1$$
Jawaban: D.
Soal 57
Fungsi \(f\) dan \(g\) keduanya bijektif dan sama-sama menurun. Sifat \(f\circ g\) dan inversnya yang benar adalah ….
A. \(f\circ g\) menurun dan inversnya menurun
B. \(f\circ g\) meningkat dan inversnya meningkat
C. \(f\circ g\) konstan
D. \(f\circ g\) tidak mempunyai invers
E. tidak dapat ditentukan
Fungsi \(g\) membalik urutan nilai sekali.
Kemudian \(f\), yang juga menurun, membaliknya sekali lagi.
Dua pembalikan menghasilkan fungsi meningkat.
Karena fungsi meningkat dan bijektif, inversnya juga meningkat.
Jawaban: B.
Soal 58
Diketahui \(f(x)=\frac1{x-1}\) dan \(g(x)=x^2\). Seorang siswa menyatakan domain \(f\circ g\) adalah semua real kecuali \(x=1\). Analisis yang tepat adalah ….
A. siswa benar
B. siswa salah, hanya \(x=-1\) yang dilarang
C. siswa salah, \(x=1\) dan \(x=-1\) harus dikeluarkan
D. siswa salah, domainnya \(x>1\)
E. fungsi tidak mempunyai domain
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=\frac1{x^2-1}$$
Penyebut nol ketika
$$\displaystyle x^2-1=0$$
$$\displaystyle x=\pm1$$
Jadi, kedua nilai harus dikeluarkan.
Jawaban: C.
Soal 59
Diketahui \(f(x)=2x+3\), \(h=f\circ g\), dan
$$\displaystyle h^{-1}(x)=\frac{x-5}{4}$$
Fungsi \(g(x)\) adalah ….
A. \(x+1\)
B. \(2x+1\)
C. \(2x-1\)
D. \(4x+5\)
E. \(x+5\)
Dari
$$\displaystyle h^{-1}(x)=\frac{x-5}{4}$$
diperoleh
$$\displaystyle h(x)=4x+5$$
Karena
$$\displaystyle h(x)=f(g(x))=2g(x)+3$$
maka
$$\displaystyle 2g(x)+3=4x+5$$
$$\displaystyle g(x)=2x+1$$
Jawaban: B.
Soal 60
Diketahui \(f(x)=ax+b\), \(g(x)=2x-1\), dan
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x+7}{6}$$
Nilai \(a+b\) adalah ….
A. \(-7\)
B. \(-4\)
C. \(-1\)
D. \(1\)
E. \(7\)
Jika
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x+7}{6}$$
maka fungsi asalnya adalah
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=6x-7$$
Sementara itu,
$$\displaystyle f(g(x))=a(2x-1)+b$$
$$\displaystyle =2ax-a+b$$
Bandingkan dengan \(6x-7\).
$$\displaystyle 2a=6$$
$$\displaystyle a=3$$
Kemudian
$$\displaystyle -a+b=-7$$
$$\displaystyle -3+b=-7$$
$$\displaystyle b=-4$$
Maka
$$\displaystyle a+b=3-4=-1$$
Jawaban: C.
Cek Pemahaman
- Mengapa pada \((f\circ g)(x)\), fungsi \(g\) justru dikerjakan lebih dahulu?
- Mengapa \(f\circ g\) pada umumnya berbeda dengan \(g\circ f\)?
- Apa dua syarat yang harus diperiksa ketika menentukan domain \(f\circ g\)?
- Mengapa invers dari komposisi harus membalik urutan fungsi?
- Bagaimana cara mengenali bahwa suatu fungsi komposisi perlu dibatasi domainnya sebelum mempunyai invers?
Refleksi
- Jika sebuah proses mempunyai tiga fungsi \(f\), \(g\), dan \(h\), bagaimana urutan inversnya ketika seluruh proses dibalik?
- Mengapa analogi memakai sepatu dan kaus kaki cocok untuk menjelaskan invers fungsi komposisi?
- Dalam soal komposisi, kapan lebih efisien mencari komposisi dahulu dan kapan lebih efisien menggunakan invers masing-masing fungsi?
- Apa risiko jika rumus invers ditemukan dengan benar tetapi domain dan range diabaikan?
Kesimpulan
Fungsi komposisi dan invers fungsi komposisi dapat dipahami sebagai rangkaian proses yang dilakukan secara berurutan.
Jika \(g\) bekerja lebih dahulu dan kemudian \(f\), komposisinya ditulis
$$\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))$$
Urutan sangat penting karena pada umumnya
$$\displaystyle f\circ g\neq g\circ f$$
Domain komposisi tidak hanya bergantung pada domain fungsi pertama yang dikerjakan. Hasil fungsi tersebut juga harus dapat diterima oleh fungsi berikutnya.
Untuk fungsi yang mempunyai invers, invers berperan sebagai proses pembalik.
Jika
$$\displaystyle f(a)=b$$
maka
$$\displaystyle f^{-1}(b)=a$$
Konsep terpenting pada invers fungsi komposisi adalah
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
Urutan berubah karena proses yang dilakukan paling akhir harus dibatalkan paling dahulu.
Inilah pola yang sebaiknya selalu diingat:
Untuk mencari invers komposisi, kita dapat mengomposisikan fungsi terlebih dahulu lalu mencari inversnya, atau mencari invers setiap fungsi kemudian membalik urutan komposisinya.
Pada soal yang lebih menantang, konsep yang sama tetap berlaku. Yang berubah hanyalah informasi yang diberikan: bisa berupa parameter, domain, nilai invers, fungsi yang belum diketahui, atau komposisi bertingkat.
Strategi paling aman adalah baca dari kanan → ikuti alur fungsi → periksa domain → susun komposisi → balik urutan ketika mencari invers → cek kembali dengan fungsi identitas.
Kalau pola tersebut sudah terasa natural, fungsi komposisi tidak lagi terlihat seperti tumpukan simbol. Kita sebenarnya sedang membaca sebuah alur: nilai masuk, berubah beberapa kali, lalu bisa dilacak kembali sampai ke titik awal.
FAQ
Apa yang dimaksud fungsi komposisi?
Fungsi komposisi adalah penggabungan dua atau lebih fungsi secara berurutan. Jika \(g\) dilakukan lebih dahulu kemudian \(f\), komposisinya ditulis \((f\circ g)(x)=f(g(x))\).
Apakah f∘g selalu sama dengan g∘f?
Tidak. Pada umumnya \(f\circ g\neq g\circ f\). Urutan fungsi sangat menentukan hasil komposisi.
Bagaimana cara menentukan domain fungsi komposisi?
Untuk \(f\circ g\), nilai \(x\) harus berada pada domain \(g\), dan hasil \(g(x)\) harus berada pada domain \(f\).
Apa rumus invers dari fungsi komposisi?
Jika fungsi-fungsi yang terlibat mempunyai invers yang sesuai, berlaku
$$\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$$
Mengapa urutan invers fungsi komposisi dibalik?
Karena proses terakhir pada komposisi harus dibatalkan lebih dahulu. Jika urutan maju adalah \(g\) lalu \(f\), urutan pembaliknya adalah \(f^{-1}\) lalu \(g^{-1}\).
