Fungsi kuadrat sering kali muncul dalam berbagai situasi kehidupan nyata. Misalnya, dalam fisika, kita menggunakan fungsi kuadrat untuk menghitung lintasan benda yang dilempar ke udara. Dalam ekonomi, fungsi kuadrat digunakan untuk menganalisis keuntungan maksimum suatu bisnis. Bahkan dalam teknik sipil, fungsi kuadrat membantu dalam perhitungan struktur bangunan agar lebih stabil. Oleh karena itu, memahami konsep fungsi kuadrat sangatlah penting untuk berbagai bidang ilmu.
Pengertian dan Bentuk/Rumus Fungsi Kuadrat
Apa Itu Fungsi Kuadrat?
Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial dengan derajat tertinggi dua. Bentuk umum dari fungsi kuadrat dapat dinyatakan sebagai:
\(\displaystyle f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\)
Di mana:
- \(a\), \(b\), dan \(c\) adalah konstanta dengan \(a \neq 0\)
- \(x\) adalah variabel bebas
Fungsi kuadrat membentuk grafik berbentuk parabola yang bisa terbuka ke atas atau ke bawah tergantung pada nilai koefisien \(a\).
Bentuk-Bentuk Fungsi Kuadrat
Selain bentuk umum, fungsi kuadrat juga dapat ditulis dalam beberapa bentuk lain, yaitu:
- Bentuk Faktorisasi Jika fungsi kuadrat memiliki akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\), maka dapat difaktorkan sebagai:\(\displaystyle f\left( x \right)=a\left( x-x_1 \right)\left( x-x_2 \right)\)
- Bentuk Vertex (Puncak) Bentuk ini digunakan untuk mengetahui koordinat titik puncak \((h,k) \) dengan rumus:\(\displaystyle f\left( x \right)=a\left( x-h \right)^{2}+k\) Dengan:
- \(h = -\frac{b}{2a}\)
- \(k = f(h)\)
Fungsi Kuadrat dengan Tabel, Persamaan, dan Grafik
Representasi Fungsi Kuadrat dalam Tabel
Untuk memahami bagaimana fungsi kuadrat bekerja, kita bisa menyusun tabel nilai \(x\) dan \(f(x)\). Contohnya, untuk fungsi \(f(x) = x^2 – 4x + 3\):
| \(x\) | \(f(x) = x^2 – 4x + 3\) |
|---|---|
| 0 | 3 |
| 1 | 0 |
| 2 | -1 |
| 3 | 0 |
| 4 | 3 |
Jika kelima titik tersebut dihubungkan dan digambar pada koordinat kartesius, diperoleh:
Grafik Fungsi Kuadrat
Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan beberapa karakteristik penting:
- Jika \(a > 0\), parabola terbuka ke atas.
- Jika \(a < 0\), parabola terbuka ke bawah.
- Sumbu simetri terletak di \(x = -\frac{b}{2a}\).
- Titik puncak \((h, k)\) adalah titik ekstrem (maksimum atau minimum).
- Akar-akar fungsi kuadrat adalah titik di mana grafik memotong sumbu \(x\).
Hubungan antara Koefisien dengan Grafik Fungsi Kuadrat
Pengaruh Koefisien \(a\)
- Jika \(a > 0\), parabola terbuka ke atas dan memiliki titik minimum.
- Jika \(a < 0\), parabola terbuka ke bawah dan memiliki titik maksimum.
- Semakin besar nilai absolut \(a\), semakin sempit parabola.
- Semakin kecil nilai absolut \(a\), semakin lebar parabola.
Pengaruh Koefisien \(b\)
Koefisien \(b\) mempengaruhi posisi sumbu simetri yang diberikan oleh:
\(\displaystyle x=-\frac{b}{2a}\)
Semakin besar atau kecil nilai \(b\), titik puncak parabola bergeser ke kiri atau ke kanan.
Pengaruh Koefisien \(c\)
Koefisien \(c\) menentukan titik potong dengan sumbu \(y\). Titik ini adalah \((0, c)\).
Hubungan antara Diskriminan dengan Grafik Fungsi Kuadrat
Diskriminan dari fungsi kuadrat dihitung dengan rumus:
\(\displaystyle D = b^2 – 4ac\)
Berdasarkan nilai diskriminan (\(D \)), kita bisa menentukan jumlah dan jenis akar-akar fungsi kuadrat:
- Jika \(D > 0\)
- Fungsi memiliki dua akar real dan berbeda.
- Grafik memotong sumbu \(x\) di dua titik.
- Jika \(D = 0\)
- Fungsi memiliki satu akar real (akar kembar).
- Grafik menyinggung sumbu \(x\) di satu titik.
- Jika \(D < 0\)
- Fungsi tidak memiliki akar real.
- Grafik tidak memotong sumbu \(x\) sama sekali.
Menentukan Fungsi Kuadrat Berdasarkan Grafik
Menentukan persamaan fungsi kuadrat berdasarkan grafik memerlukan beberapa langkah penting:
- Menentukan Akar-Akar (Jika Ada)
- Jika grafik memotong sumbu \(x\) di titik \(x = x_1\) dan \(x = x_2\), maka bentuk faktornya adalah:\(\displaystyle f(x) = a(x – x_1)(x – x_2)\)
- Menentukan Titik Puncak
- Jika diketahui titik puncak \((h, k)\), maka kita dapat menggunakan bentuk vertex:\(\displaystyle f(x) = a(x – h)^2 + k\)
- Menentukan Konstanta \(a\)
- Untuk menemukan nilai \(a\), kita bisa menggunakan titik lain yang diketahui dalam grafik dan substitusikan ke dalam persamaan.
Sebagai contoh, jika grafik parabola memiliki akar di \(x = 1\) dan \(x = 3\), serta melewati titik \((2, -1)\), maka bentuknya:
\(\displaystyle f(x) = a(x – 1)(x – 3)\)
Substitusikan titik \((2, -1)\):
\(\displaystyle -1 = a(2 – 1)(2 – 3)\)
\(\displaystyle -1 = a(1)(-1)\)
\(\displaystyle a = 1\)
Maka persamaan akhirnya adalah:
\(\displaystyle f(x) = (x – 1)(x – 3)\)
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[#fde6ff, 5px, border: 2px solid black] {f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+3}\)
Dengan memahami konsep-konsep di atas, kita bisa lebih mudah menganalisis dan menggambar grafik fungsi kuadrat dalam berbagai situasi.