Pada artikel ini kita akan mempelajari materi persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat adalah sebuah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi sama dengan dua.
Bentuk umum:
\(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\)
Dimana, \(\displaystyle a\ne 0\) dan a, b, c adalah anggota himpunan bilangan real.
Ada beberapa bentuk khusus persamaan kuadrat, yaitu:
- Persamaan Kuadrat Biasa, yaitu persamaan kuadrat dimana nilai a = 1. Contohnya \(\displaystyle {{x}^{2}}-10x+21=0\).
- Persamaan Kuadrat Murni, yaitu persamaan kuadrat dimana nilai b = 0. Contohnya \(\displaystyle 5{{x}^{2}}-125=0\).
- Persamaan kuadrat tak lengkap, yaitu persamaan kuadrat dimana nilai c = 0. Contohnya \(\displaystyle 2{{x}^{2}}-8x=0\)
- Persamaan Kuadrat Rasional, yaitu persamaan kuadrat yang nilai a, b, dan c adalah bilangan-bilangan rasional. Contohnya \(\displaystyle \frac{1}{4}{{x}^{2}}+\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}=0\)
Quote by Pythagoras
Pada materi persamaan kuadrat kita lebih banyak berbicara tentang akar-akar persamaan kuadrat, akar-akar persamaan kuadrat disini yaitu nilai x itu sendiri.
Akar-akar Persamaan Kuadrat
Nilai yang memenuhi persamaan kuadrat \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) disebut akar persamaan kuadrat dan dinotasikan dengan \(\displaystyle {{x}_{1}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}\). Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan beberapa cara, yaitu:
Faktorisasi
Bentuk \(\displaystyle {{x}^{2}}+bx+c=0\) diuraikan kebentuk
\(\displaystyle \left( {x-{{x}_{1}}} \right)\left( {x-{{x}_{2}}} \right)=0\)
Contoh:
Soal 1 – Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}+7x+12=0\)
Maka kita dapat menyelesaikan menjadi, carilah dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya adalah 12, dan jika kedua bilangan tersebut dijumlahkan hasilnya adalah 7. Tentu bilangan-bilangan itu adalah 3 dan 4.
\(\displaystyle {{x}^{2}}+7x+12=0\)
\(\displaystyle \left( {x+3} \right)\left( {x+4} \right)=0\)
\(\displaystyle \left( {x+3} \right)=0\,\,atau\,\,\left( {x+4} \right)=0\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}=-3\,\,atau\,\,{{x}_{2}}=-4\)
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat adalah \(\displaystyle HP=\left\{ {-4,-3} \right\}\)
Soal 2 (untuk nilai \(\displaystyle a>1\)) – Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle 2{{x}^{2}}-11x+12=0\)
Pertama-tama kita kalikan koefisien \(\displaystyle {{{x}^{2}}}\) dengan konstanta \(\displaystyle \underbrace{{2{{x}^{2}}-11x+12}}_{{24}}=0\)
Kemudian carilah dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 24 dan jika kedua bilangan tersebut dijumlahkan hasilnya -11. Dua bilangan tersebut adalah -3 dan -8, kedua bilangan ini kita isi pada bentuk pemfaktoran \(\displaystyle \frac{1}{a}\left( {ax+…} \right)\left( {ax+…} \right)=0\) menjadi:
\(\displaystyle \frac{1}{2}\left( {2x-3} \right)\left( {2x-8} \right)=0\)
\(\displaystyle \require{cancel} \frac{1}{\cancel{2}}\left( {2x-3} \right)\left( \cancelto{x-4}{2x-8} \right)=0\)
\(\displaystyle \left( {2x-3} \right)\left( {x-4} \right)=0\)
\(\displaystyle \left( {2x-3} \right)=0\,\,atau\,\,\left( {x-4} \right)=0\)
\(\displaystyle 2x=3\,\,atau\,\,x=4\)
\(\displaystyle x=\frac{3}{2}\,\,atau\,\,x=4\)
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat adalah \(\displaystyle HP=\left\{ {\frac{3}{2},4} \right\}\)
***
Melengkapkan kuadrat sempurna
Kita akan menjabarkan bentuk \(\displaystyle {{x}^{2}}+bx+c=0\) menjadi:
\(\displaystyle {{\left( {x+p} \right)}^{2}}=q\)
Contoh:
Soal 1 – Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}+6x-1=0\).
Kita ubah menjadi \(\displaystyle {{x}^{2}}+6x=1\)
disini kita tambahkan kedua ruas dengan \(\displaystyle {{\left( {\frac{1}{2}b} \right)}^{2}}\) atau \(\displaystyle {{\left( {\frac{1}{2}\times 6} \right)}^{2}}=9\).
\(\displaystyle {{x}^{2}}+6x+9=1+9\)
\(\displaystyle {{\left( {x+3} \right)}^{2}}=10\)
\(\displaystyle x+3=\pm \sqrt{{10}}\)
\(\displaystyle x=\pm \sqrt{{10}}-3\)
Jadi, \(\displaystyle {{x}_{1}}=\sqrt{{10}}-3\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}=-\sqrt{{10}}-3\)
\(\displaystyle HP=\left\{ {-\sqrt{{10}}-3,\sqrt{{10}}-3} \right\}\)
Soal 2 – Tentukan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}-8x+4=0\)
Penyelesaian:
\(\displaystyle {{x}^{2}}-8x=-4\) kedua ruas ditambahkan 16
\(\displaystyle {{x}^{2}}-8x+16=-4+16\)
\(\displaystyle {{\left( {x-4} \right)}^{2}}=12\)
\(\displaystyle x-4=\pm \sqrt{{12}}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}x=\pm \sqrt{{12}}+4\\x=\pm 2\sqrt{3}+4\end{array}\)
Jadi, \(\displaystyle {{x}_{1}}=2\sqrt{3}+4\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}=-2\sqrt{3}+4\)
***
Menggunakan Rumus abc
Persamaan kuadrat \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\), memiliki akar-akar persamaan:
\(\displaystyle {{x}_{{1,2}}}=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}\)
dimana \(\displaystyle {{b}^{2}}-4ac=D\) dengan D adalah Diskriminan maka
\(\displaystyle {{x}_{{1,2}}}=\frac{{-b\pm \sqrt{D}}}{{2a}}\)
Pembuktian rumus abc ini dijelas secara mendetil dalam pembahasan dibawah ini.
Kita akan kalikan setiap suku pada \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) dengan \(\displaystyle 4a\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4abx+4ac=0\\4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4abx+4ac+\left( {{{b}^{2}}-{{b}^{2}}} \right)=0\\\left( {4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4abx+{{b}^{2}}} \right)-\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)=0\end{array}\)
\(\displaystyle {{\left( {2ax+b} \right)}^{2}}-\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)=0\)
Kemudian setiap suku yang ada kita akarkan.
\(\displaystyle \begin{array}{l}\sqrt{{{{{\left( {\left( {2ax+b} \right)} \right)}}^{2}}}}\pm \sqrt{{\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)}}=0\\\left( {2ax+b} \right)\pm \sqrt{{\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)}}=0\end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}2ax=-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}\\x=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}\end{array}\)
Sehingga diperoleh rumus abc:
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[white, 5px, border: 2px solid black]{ {{x}_{{1,2}}}=\frac{{-b\pm \sqrt{{{{b}^{2}}-4ac}}}}{{2a}}}\)
Nilai \(\displaystyle {{{b}^{2}}-4ac}\) disebut diskriminan dari persamaan \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) dan disimbolkan dengan huruf D, sehingga rumus di atas dapat ditulis menjadi:
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[white, 5px, border: 2px solid black] {{{x}_{{1,2}}}=\frac{{-b\pm \sqrt{D}}}{{2a}}}\)
Contoh:
Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat \(\displaystyle 5{{x}^{2}}+4x-1=0\).
Penyelesaian:
\(\displaystyle 5{{x}^{2}}+4x-1=0\) dengan \(\displaystyle a=5,\,\,b=4,\,\,c=-1\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}D={{4}^{2}}-4.5.\left( {-1} \right)\\D=16+20\\D=36\end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{{1,2}}}=\frac{{-4\pm \sqrt{{36}}}}{{2.5}}\\{{x}_{{1,2}}}=\frac{{-4\pm 6}}{{10}}\end{array}\)
maka akar-akarnya adalah:
\(\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{{-4+6}}{{10}}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{1}}=\frac{2}{{10}}\\{{x}_{1}}=\frac{1}{5}\end{array}\)
dan
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{2}}=\frac{{-4-6}}{{10}}\\{{x}_{2}}=\frac{{-10}}{{10}}\\{{x}_{2}}=-1\end{array}\)
***
Sifat Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar-akar
Tanpa kita mengetahui nilai \(\displaystyle {{x}_{1}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}\) dari akar-akar persamaan kuadrat ternyata kita dapat mencari nilai penjumlahan, selisih, dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
Dimisalkan akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) adalah \(\displaystyle {{x}_{1}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}\), dengan menggunakan rumus abc kita peroleh:
\(\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{{-b+\sqrt{D}}}{{2a}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{{-b-\sqrt{D}}}{{2a}}\)
Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}}{{2a}}\\{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{{-2b}}{{2a}}\\{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{{-b}}{a}\end{array}\)
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}}\)
Selisih Akar-akar Persamaan Kuadrat
\(\displaystyle {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\frac{{-b+\sqrt{D}-\left( {-b-\sqrt{D}} \right)}}{{2a}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\frac{{2\sqrt{D}}}{{2a}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\frac{{\sqrt{D}}}{a}\)
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\frac{{\sqrt{D}}}{a}}\)
Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{{\left( {-b+\sqrt{D}} \right)\left( {-b-\sqrt{D}} \right)}}{{\left( {2a} \right)\left( {2a} \right)}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{{{{b}^{2}}-D}}{{4{{a}^{2}}}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{{{{b}^{2}}-\left( {{{b}^{2}}-4ac} \right)}}{{4{{a}^{2}}}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{{4ac}}{{4{{a}^{2}}}}\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\)
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}=\frac{c}{a}}\)
Selain itu, terdapat juga rumus hubungan akar yang lainnya:
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={{\left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}}\)
dan,
\(\displaystyle \require{bbox}\bbox[yellow, 5px, border: 2px solid black]{{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}={{\left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}\left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}\)
Contoh
Soal 1
Tentukan nilai \(\displaystyle {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}\) pada persamaan kuadrat \(\displaystyle 8{{x}^{2}}+10x-3=0\).
\(\displaystyle 8{{x}^{2}}+10x-3=0\)
Nilai \(\displaystyle a=8,\,\,b=10,\,\,c=-3\)
\(\displaystyle {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={{\left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}.\,{{x}_{2}}\)
Maka kita perlu menggunakan sifat penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat.
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{{10}}{8}\\{{x}_{1}}\,.\,\,{{x}_{2}}=\frac{{-3}}{8}\end{array}\)
\(\displaystyle \begin{array}{l}{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}={{\left( {-\frac{{10}}{8}} \right)}^{2}}-2\left( {-\frac{3}{8}} \right)\\{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{100}}{{64}}+\frac{6}{8}\\{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{100}}{{64}}+\frac{{48}}{{64}}\\{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{148}}{{64}}\\{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\frac{{37}}{{16}}\end{array}\)
***
Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat
Kita tahu bahwa akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\) adalah \(\displaystyle {{x}_{1}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}\) dimana:
\(\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{{-b+\sqrt{D}}}{{2a}}\) dan \(\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{{-b-\sqrt{D}}}{{2a}}\)
dengan \(\displaystyle D\) adalah diskriminan.
Jenis akar-akar persamaan kuadrat berdasarkan diskriminan adalah:
- Dua akar real dan berbeda \(\displaystyle \left( {{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}} \right)\) jika \(\displaystyle D>0\)
- Akar-akarnya kembar / sama dan merupakan bilangan real \(\displaystyle \left( {{{x}_{1}}={{x}_{2}}} \right)\) jika \(\displaystyle D=0\)
- Tidak mempunyai akar-akar yang real (akar-akarnya imaginer) jika \(\displaystyle D<0\)
Contoh
1. Tentukan p agar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}+px+p=0\) mempunyai dua akar real dan berbeda.
\(\displaystyle {{x}^{2}}+px+p=0\) mempunyai dua akar real dan berbeda syaratnya \(\displaystyle D>0\)
\(\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac\)
\(\displaystyle {{p}^{2}}-4.1.p>0\)
\(\displaystyle {{p}^{2}}-4p>0\)
\(\displaystyle p\left( {p-4} \right)>0\)
\(\displaystyle p=0\,\,atau\,\,p=4\)
maka \(\displaystyle p<0\,\,atau\,\,p>4\)
2. Tentukan nilai m agar persamaan kuadrat \(\displaystyle {{x}^{2}}-\left( {4+m} \right)x+9=0\) mempunyai akar-akar kembar.
\(\displaystyle {{x}^{2}}-\left( {4+m} \right)x+9=0\) mempunyai akar-akar kembar syaratnya \(\displaystyle D=0\).
\(\displaystyle {{\left( {-\left( {4+m} \right)} \right)}^{2}}-4.1.9=0\)
\(\displaystyle {{\left( {4+m} \right)}^{2}}-36=0\)
\(\displaystyle 16+8m+{{m}^{2}}-36=0\)
\(\displaystyle {{m}^{2}}+8m-20=0\)
\(\displaystyle \left( {m+10} \right)\left( {m-2} \right)=0\)
\(\displaystyle m=-10\,\,atau\,\,m=2\)
***
Soal dan Pembahasan
Belajar persamaan kuadrat bukan hanya tentang menyelesaikan soal, tetapi juga tentang memahami pola dan berpikir secara logis, dua hal yang sangat penting dalam matematika. Materi ini mengajak kita untuk mengenali berbagai bentuk persamaan, mencari akar-akar, dan memahami bagaimana grafik parabola terbentuk. Dari pemfaktoran hingga rumus kuadrat, semua metode memberi kita pilihan dalam menyelesaikan persoalan. Sama seperti dalam hidup, terkadang ada lebih dari satu cara untuk sampai ke tujuan.
Matematika memang sering terasa menantang, tapi justru di situlah letak keasyikannya. Persamaan kuadrat mengajarkan kita bahwa setiap masalah punya struktur, dan dengan ketekunan, kita bisa menemukan jawabannya. Tidak semua proses akan langsung berhasil di percobaan pertama, namun setiap langkah adalah bagian dari pembelajaran. Jadi, teruslah berlatih dan jangan takut salah karena di dunia matematika, kesalahan adalah awal dari pemahaman yang lebih dalam.
50 Soal Pilihan Ganda Persamaan Kuadrat dan Pembahasan
A. Konsep Dasar Persamaan Kuadrat
Soal 1
Bentuk yang merupakan persamaan kuadrat adalah ….
A. \(\displaystyle 2x^3-5x+1=0\)
B. \(\displaystyle 4x-7=0\)
C. \(\displaystyle x^2+3x-4=0\)
D. \(\displaystyle \frac{1}{x}+2=0\)
E. \(\displaystyle 5^x=25\)
Persamaan kuadrat mempunyai pangkat tertinggi dua. Periksa opsi satu per satu. A memiliki pangkat tertinggi tiga. B adalah persamaan linear. C memiliki pangkat tertinggi dua. D bukan persamaan polinom kuadrat. E adalah persamaan eksponen. Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 2
Pada persamaan \(\displaystyle 4x^2-7x+5=0\), nilai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), dan \(\displaystyle c\) berturut-turut adalah ….
A. \(\displaystyle 4,7,5\)
B. \(\displaystyle 4,-7,5\)
C. \(\displaystyle -4,7,-5\)
D. \(\displaystyle 2,-7,5\)
E. \(\displaystyle 4,-5,7\)
Bandingkan dengan bentuk umum \(\displaystyle ax^2+bx+c=0\). Dari persamaan \(\displaystyle 4x^2-7x+5=0\), diperoleh: \(\displaystyle a=4\) \(\displaystyle b=-7\) \(\displaystyle c=5\) Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 3
Persamaan \(\displaystyle x^2-16=0\) termasuk ….
A. persamaan linear
B. persamaan kuadrat tak lengkap dengan \(\displaystyle c=0\)
C. persamaan kuadrat murni
D. persamaan kuadrat biasa dengan dua suku linear
E. bukan persamaan kuadrat
Tuliskan sebagai \(\displaystyle x^2+0x-16=0\) Di sini koefisien \(\displaystyle x\) adalah nol, sehingga bentuk ini disebut persamaan kuadrat murni. Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 4
Jika persamaan \(\displaystyle 3x-2x^2+1=0\) ditulis dalam bentuk umum, maka nilai \(\displaystyle a\) adalah ….
A. \(\displaystyle 3\)
B. \(\displaystyle -2\)
C. \(\displaystyle 1\)
D. \(\displaystyle 2\)
E. \(\displaystyle -3\)
Susun ke bentuk umum. \(\displaystyle -2x^2+3x+1=0\) Maka koefisien \(\displaystyle x^2\) adalah \(\displaystyle a=-2\) Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 5
Manakah pernyataan yang benar tentang persamaan kuadrat?
A. Koefisien \(\displaystyle a\) boleh nol.
B. Pangkat tertinggi variabel adalah satu.
C. Bentuk umumnya adalah \(\displaystyle ax^2+bx+c=0\) dengan \(\displaystyle a\ne0\).
D. Semua persamaan kuadrat mempunyai dua akar bulat.
E. Semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan hanya dengan faktorisasi.
Definisi persamaan kuadrat adalah persamaan satu variabel berbentuk \(\displaystyle ax^2+bx+c=0\) dengan syarat \(\displaystyle a\ne0\) Pernyataan lain salah. Jadi, jawabannya adalah C.
B. Menentukan Akar dengan Faktorisasi
Soal 6
Akar-akar persamaan \(\displaystyle x^2-7x+10=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle -2\) dan \(\displaystyle -5\)
B. \(\displaystyle 2\) dan \(\displaystyle 5\)
C. \(\displaystyle -2\) dan \(\displaystyle 5\)
D. \(\displaystyle 1\) dan \(\displaystyle 10\)
E. \(\displaystyle 3\) dan \(\displaystyle 4\)
Cari dua bilangan yang jumlahnya \(\displaystyle -7\) dan hasil kalinya \(\displaystyle 10\). Bilangan itu adalah \(\displaystyle -2\) dan \(\displaystyle -5\). \(\displaystyle x^2-7x+10=0\) \(\displaystyle (x-2)(x-5)=0\) Maka, \(\displaystyle x=2\) atau \(\displaystyle x=5\) Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 7
Himpunan penyelesaian dari \(\displaystyle x^2+4x-12=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle {-6,2}\)
B. \(\displaystyle {-2,6}\)
C. \(\displaystyle {4,-3}\)
D. \(\displaystyle {3,-4}\)
E. \(\displaystyle {-6,-2}\)
Cari dua bilangan yang jumlahnya \(\displaystyle 4\) dan hasil kalinya \(\displaystyle -12\). Bilangan itu adalah \(\displaystyle 6\) dan \(\displaystyle -2\). \(\displaystyle x^2+4x-12=0\) \(\displaystyle (x+6)(x-2)=0\) Maka, \(\displaystyle x=-6\) atau \(\displaystyle x=2\) Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 8
Akar-akar persamaan \(\displaystyle 2x^2-5x-3=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle 3\) dan \(\displaystyle \frac{1}{2}\)
B. \(\displaystyle -3\) dan \(\displaystyle \frac{1}{2}\)
C. \(\displaystyle 3\) dan \(\displaystyle -\frac{1}{2}\)
D. \(\displaystyle -3\) dan \(\displaystyle -\frac{1}{2}\)
E. \(\displaystyle \frac{3}{2}\) dan \(\displaystyle -1\)
Faktorkan persamaan. \(\displaystyle 2x^2-5x-3=0\) \(\displaystyle (2x+1)(x-3)=0\) Maka, \(\displaystyle 2x+1=0\) atau \(\displaystyle x-3=0\) Diperoleh \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\) atau \(\displaystyle x=3\) Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 9
Penyelesaian dari \(\displaystyle 3x^2-2x-8=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle {2,-\frac{4}{3}}\)
B. \(\displaystyle {-2,\frac{4}{3}}\)
C. \(\displaystyle {2,\frac{4}{3}}\)
D. \(\displaystyle {-2,-\frac{4}{3}}\)
E. \(\displaystyle {\frac{2}{3},4}\)
Faktorkan persamaan.
\(\displaystyle 3x^2-2x-8=0\)
\(\displaystyle (3x+4)(x-2)=0\)
Maka,
\(\displaystyle 3x+4=0\)
atau
\(\displaystyle x-2=0\)
Diperoleh
\(\displaystyle x=-\frac{4}{3}\)
atau
\(\displaystyle x=2\)
Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 10
Akar persamaan \(\displaystyle 4x^2-12x+9=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle 3\) dan \(\displaystyle 3\)
B. \(\displaystyle \frac{3}{4}\) dan \(\displaystyle \frac{3}{4}\)
C. \(\displaystyle \frac{3}{2}\) dan \(\displaystyle \frac{3}{2}\)
D. \(\displaystyle -\frac{3}{2}\) dan \(\displaystyle -\frac{3}{2}\)
E. \(\displaystyle 1\) dan \(\displaystyle 2\)
Persamaan ini merupakan kuadrat sempurna. \(\displaystyle 4x^2-12x+9=0\) \(\displaystyle (2x-3)^2=0\) Maka, \(\displaystyle 2x-3=0\) \(\displaystyle x=\frac{3}{2}\) Karena bentuknya kuadrat sempurna, akar kembar. Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 11
Akar-akar persamaan \(\displaystyle x^2-9=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle -9\) dan \(\displaystyle 1\)
B. \(\displaystyle -3\) dan \(\displaystyle 3\)
C. \(\displaystyle 0\) dan \(\displaystyle 9\)
D. \(\displaystyle 3\) dan \(\displaystyle 9\)
E. \(\displaystyle -1\) dan \(\displaystyle 9\)
Gunakan selisih dua kuadrat. \(\displaystyle x^2-9=0\) \(\displaystyle (x-3)(x+3)=0\) Maka, \(\displaystyle x=3\) atau \(\displaystyle x=-3\) Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 12
Himpunan penyelesaian dari \(\displaystyle 5x^2-20x=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle {0,5}\)
B. \(\displaystyle {1,4}\)
C. \(\displaystyle {0,4}\)
D. \(\displaystyle {-4,0}\)
E. \(\displaystyle {5,-4}\)
Faktorkan faktor persekutuan. \(\displaystyle 5x^2-20x=0\) \(\displaystyle 5x(x-4)=0\) Maka, \(\displaystyle x=0\) atau \(\displaystyle x=4\) Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 13
Akar-akar persamaan \(\displaystyle 6x^2+x-2=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle \frac{1}{2}\) dan \(\displaystyle \frac{2}{3}\)
B. \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) dan \(\displaystyle \frac{2}{3}\)
C. \(\displaystyle \frac{1}{2}\) dan \(\displaystyle -\frac{2}{3}\)
D. \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) dan \(\displaystyle -\frac{2}{3}\)
E. \(\displaystyle 2\) dan \(\displaystyle -\frac{1}{3}\)
Faktorkan. \(\displaystyle 6x^2+x-2=0\) \(\displaystyle (3x+2)(2x-1)=0\) Maka, \(\displaystyle 3x+2=0\) atau \(\displaystyle 2x-1=0\) Diperoleh \(\displaystyle x=-\frac{2}{3}\) atau \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 14
Akar-akar persamaan \(\displaystyle x^2-x-12=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle 4\) dan \(\displaystyle -3\)
B. \(\displaystyle -4\) dan \(\displaystyle 3\)
C. \(\displaystyle 6\) dan \(\displaystyle -2\)
D. \(\displaystyle 12\) dan \(\displaystyle -1\)
E. \(\displaystyle -6\) dan \(\displaystyle 2\)
Cari dua bilangan yang jumlahnya \(\displaystyle -1\) dan hasil kalinya \(\displaystyle -12\). Bilangan itu adalah \(\displaystyle -4\) dan \(\displaystyle 3\). \(\displaystyle x^2-x-12=0\) \(\displaystyle (x-4)(x+3)=0\) Maka, \(\displaystyle x=4\) atau \(\displaystyle x=-3\) Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 15
Akar-akar persamaan \(\displaystyle 8x^2+2x-3=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle \frac{1}{2}\) dan \(\displaystyle \frac{3}{4}\)
B. \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) dan \(\displaystyle \frac{3}{4}\)
C. \(\displaystyle \frac{1}{2}\) dan \(\displaystyle -\frac{3}{4}\)
D. \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) dan \(\displaystyle -\frac{3}{4}\)
E. \(\displaystyle \frac{3}{2}\) dan \(\displaystyle -\frac{1}{4}\)
Faktorkan persamaan. \(\displaystyle 8x^2+2x-3=0\) \(\displaystyle (4x+3)(2x-1)=0\) Maka, \(\displaystyle 4x+3=0\) atau \(\displaystyle 2x-1=0\) Diperoleh \(\displaystyle x=-\frac{3}{4}\) atau \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\) Jadi, jawabannya adalah C.
C. Melengkapkan Kuadrat Sempurna dan Rumus abc
Soal 16
Akar-akar persamaan \(\displaystyle x^2+8x+5=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle -4\pm\sqrt{11}\)
B. \(\displaystyle 4\pm\sqrt{11}\)
C. \(\displaystyle -8\pm\sqrt{5}\)
D. \(\displaystyle 8\pm\sqrt{11}\)
E. \(\displaystyle -4\pm11\)
Gunakan kuadrat sempurna. \(\displaystyle x^2+8x=-5\) Tambahkan \(\displaystyle 16\) pada kedua ruas. \(\displaystyle x^2+8x+16=11\) \(\displaystyle (x+4)^2=11\) Maka, \(\displaystyle x+4=\pm\sqrt{11}\) \(\displaystyle x=-4\pm\sqrt{11}\) Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 17
Penyelesaian dari \(\displaystyle x^2-6x-1=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle 3\pm\sqrt{7}\)
B. \(\displaystyle -3\pm\sqrt{10}\)
C. \(\displaystyle 3\pm\sqrt{10}\)
D. \(\displaystyle -3\pm\sqrt{7}\)
E. \(\displaystyle 6\pm1\)
Pindahkan konstanta. \(\displaystyle x^2-6x=1\) Tambahkan \(\displaystyle 9\). \(\displaystyle x^2-6x+9=10\) \(\displaystyle (x-3)^2=10\) Maka, \(\displaystyle x-3=\pm\sqrt{10}\) \(\displaystyle x=3\pm\sqrt{10}\) Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 18
Akar-akar persamaan \(\displaystyle 2x^2+8x+3=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle -2\pm\frac{\sqrt{10}}{2}\)
B. \(\displaystyle 2\pm\frac{\sqrt{10}}{2}\)
C. \(\displaystyle -2\pm\sqrt{10}\)
D. \(\displaystyle -4\pm\frac{\sqrt{10}}{2}\)
E. \(\displaystyle 2\pm\sqrt{10}\)
Bagi semua ruas dengan \(\displaystyle 2\). \(\displaystyle x^2+4x+\frac{3}{2}=0\) \(\displaystyle x^2+4x=-\frac{3}{2}\) Tambahkan \(\displaystyle 4\). \(\displaystyle x^2+4x+4=\frac{5}{2}\) \(\displaystyle (x+2)^2=\frac{5}{2}\) Maka, \(\displaystyle x+2=\pm\sqrt{\frac{5}{2}}\) \(\displaystyle x+2=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}\) \(\displaystyle x=-2\pm\frac{\sqrt{10}}{2}\) Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 19
Akar-akar persamaan \(\displaystyle 3x^2-12x+1=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle 2\pm\frac{\sqrt{21}}{3}\)
B. \(\displaystyle 2\pm\frac{\sqrt{33}}{3}\)
C. \(\displaystyle -2\pm\frac{\sqrt{33}}{3}\)
D. \(\displaystyle 4\pm\frac{\sqrt{33}}{3}\)
E. \(\displaystyle 2\pm\sqrt{33}\)
Bagi persamaan dengan \(\displaystyle 3\). \(\displaystyle x^2-4x+\frac{1}{3}=0\) \(\displaystyle x^2-4x=-\frac{1}{3}\) Tambahkan \(\displaystyle 4\). \(\displaystyle x^2-4x+4=\frac{11}{3}\) \(\displaystyle (x-2)^2=\frac{11}{3}\) Maka, \(\displaystyle x-2=\pm\sqrt{\frac{11}{3}}\) \(\displaystyle x-2=\pm\frac{\sqrt{33}}{3}\) \(\displaystyle x=2\pm\frac{\sqrt{33}}{3}\) Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 20
Penyelesaian dari \(\displaystyle x(x+6)=7\) adalah ….
A. \(\displaystyle x=1\) atau \(\displaystyle x=7\)
B. \(\displaystyle x=-1\) atau \(\displaystyle x=7\)
C. \(\displaystyle x=1\) atau \(\displaystyle x=-7\)
D. \(\displaystyle x=-1\) atau \(\displaystyle x=-7\)
E. \(\displaystyle x=3\) atau \(\displaystyle x=-3\)
Uraikan persamaan. \(\displaystyle x^2+6x=7\) Tambahkan \(\displaystyle 9\) pada kedua ruas. \(\displaystyle x^2+6x+9=16\) \(\displaystyle (x+3)^2=16\) Maka, \(\displaystyle x+3=\pm4\) Untuk tanda positif, \(\displaystyle x=1\) Untuk tanda negatif, \(\displaystyle x=-7\) Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 21
Akar-akar persamaan \(\displaystyle 2x^2+3x-7=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{65}}{2}\)
B. \(\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{65}}{4}\)
C. \(\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{65}}{4}\)
D. \(\displaystyle \frac{-3\pm65}{4}\)
E. \(\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{65}}{2}\)
Gunakan rumus abc dengan \(\displaystyle a=2\), \(\displaystyle b=3\), dan \(\displaystyle c=-7\). Hitung diskriminan. \(\displaystyle D=3^2-4(2)(-7)\) \(\displaystyle D=9+56\) \(\displaystyle D=65\) Substitusi ke rumus abc. \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{65}}{4}\) Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 22
Akar-akar persamaan \(\displaystyle 4x^2-4x-5=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{6}}{2}\)
B. \(\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{6}}{2}\)
C. \(\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{6}}{4}\)
D. \(\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{6}}{4}\)
E. \(\displaystyle \frac{-2\pm\sqrt{6}}{4}\)
Diketahui \(\displaystyle a=4\), \(\displaystyle b=-4\), dan \(\displaystyle c=-5\). \(\displaystyle D=(-4)^2-4(4)(-5)\) \(\displaystyle D=16+80\) \(\displaystyle D=96\) \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{96}}{8}\) Karena \(\displaystyle \sqrt{96}=4\sqrt{6}\), maka \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{4\pm4\sqrt{6}}{8}\) \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{6}}{2}\) Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 23
Penyelesaian dari \(\displaystyle 5x^2+x-2=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{41}}{10}\)
B. \(\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{41}}{10}\)
C. \(\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{21}}{10}\)
D. \(\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{21}}{5}\)
E. \(\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{41}}{10}\)
Diketahui \(\displaystyle a=5\), \(\displaystyle b=1\), dan \(\displaystyle c=-2\). \(\displaystyle D=1^2-4(5)(-2)\) \(\displaystyle D=1+40\) \(\displaystyle D=41\) Gunakan rumus abc. \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{41}}{10}\) Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 24
Akar-akar persamaan \(\displaystyle 3x^2+6x+1=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{6}}{3}\)
B. \(\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{6}}{3}\)
C. \(\displaystyle \frac{-6\pm\sqrt{24}}{3}\)
D. \(\displaystyle \frac{-3\pm2\sqrt{6}}{3}\)
E. \(\displaystyle \frac{3\pm2\sqrt{6}}{3}\)
Diketahui \(\displaystyle a=3\), \(\displaystyle b=6\), dan \(\displaystyle c=1\). \(\displaystyle D=6^2-4(3)(1)\) \(\displaystyle D=36-12\) \(\displaystyle D=24\) \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{24}}{6}\) Karena \(\displaystyle \sqrt{24}=2\sqrt{6}\), maka \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-6\pm2\sqrt{6}}{6}\) \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{6}}{3}\) Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 25
Akar-akar persamaan \(\displaystyle 7x^2-2x-3=0\) adalah ….
A. \(\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{22}}{7}\)
B. \(\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{22}}{7}\)
C. \(\displaystyle \frac{2\pm\sqrt{22}}{7}\)
D. \(\displaystyle \frac{1\pm2\sqrt{22}}{7}\)
E. \(\displaystyle \frac{-2\pm2\sqrt{22}}{7}\)
Hitung diskriminan. \(\displaystyle D=(-2)^2-4(7)(-3)\) \(\displaystyle D=4+84\) \(\displaystyle D=88\) Gunakan rumus abc. \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{88}}{14}\) Karena \(\displaystyle \sqrt{88}=2\sqrt{22}\), maka \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{2\pm2\sqrt{22}}{14}\) \(\displaystyle x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{22}}{7}\) Jadi, jawabannya adalah A.
D. Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar
Soal 26
Jika \(\displaystyle x_1\) dan \(\displaystyle x_2\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle 3x^2-5x-2=0\), maka nilai \(\displaystyle x_1+x_2\) adalah ….
A. \(\displaystyle -\frac{5}{3}\)
B. \(\displaystyle \frac{5}{3}\)
C. \(\displaystyle -\frac{2}{3}\)
D. \(\displaystyle \frac{2}{3}\)
E. \(\displaystyle \frac{3}{5}\)
Gunakan sifat jumlah akar. \(\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) Untuk persamaan \(\displaystyle 3x^2-5x-2=0\), diperoleh \(\displaystyle a=3\) \(\displaystyle b=-5\) Maka, \(\displaystyle x_1+x_2=-\frac{-5}{3}\) \(\displaystyle x_1+x_2=\frac{5}{3}\) Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 27
Jika \(\displaystyle x_1\) dan \(\displaystyle x_2\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle 3x^2-5x-2=0\), maka nilai \(\displaystyle x_1x_2\) adalah ….
A. \(\displaystyle \frac{2}{3}\)
B. \(\displaystyle -\frac{5}{3}\)
C. \(\displaystyle -\frac{2}{3}\)
D. \(\displaystyle \frac{3}{2}\)
E. \(\displaystyle -2\)
Gunakan sifat hasil kali akar. \(\displaystyle x_1x_2=\frac{c}{a}\) Diketahui \(\displaystyle a=3\) \(\displaystyle c=-2\) Maka, \(\displaystyle x_1x_2=-\frac{2}{3}\) Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 28
Jika \(\displaystyle x_1\) dan \(\displaystyle x_2\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle 2x^2+7x+3=0\), maka nilai \(\displaystyle x_1^2+x_2^2\) adalah ….
A. \(\displaystyle \frac{37}{4}\)
B. \(\displaystyle \frac{37}{16}\)
C. \(\displaystyle \frac{49}{4}\)
D. \(\displaystyle \frac{25}{4}\)
E. \(\displaystyle \frac{31}{4}\)
Gunakan sifat akar. \(\displaystyle x_1+x_2=-\frac{7}{2}\) \(\displaystyle x_1x_2=\frac{3}{2}\) Gunakan identitas \(\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\) Substitusikan. \(\displaystyle x_1^2+x_2^2=\left(-\frac{7}{2}\right)^2-2\left(\frac{3}{2}\right)\) \(\displaystyle x_1^2+x_2^2=\frac{49}{4}-3\) \(\displaystyle x_1^2+x_2^2=\frac{37}{4}\) Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 29
Jika \(\displaystyle x_1\) dan \(\displaystyle x_2\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle 4x^2-3x-5=0\), maka nilai \(\displaystyle (x_1-x_2)^2\) adalah ….
A. \(\displaystyle \frac{25}{16}\)
B. \(\displaystyle \frac{89}{16}\)
C. \(\displaystyle \frac{81}{16}\)
D. \(\displaystyle \frac{89}{8}\)
E. \(\displaystyle \frac{73}{16}\)
Diperoleh \(\displaystyle x_1+x_2=\frac{3}{4}\) \(\displaystyle x_1x_2=-\frac{5}{4}\) Gunakan identitas \(\displaystyle (x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\) Substitusikan. \(\displaystyle (x_1-x_2)^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2-4\left(-\frac{5}{4}\right)\) \(\displaystyle (x_1-x_2)^2=\frac{9}{16}+5\) \(\displaystyle (x_1-x_2)^2=\frac{89}{16}\) Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 30
Jika \(\displaystyle x_1\) dan \(\displaystyle x_2\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle x^2-6x+2=0\), maka nilai \(\displaystyle x_1^3+x_2^3\) adalah ….
A. \(\displaystyle 108\)
B. \(\displaystyle 144\)
C. \(\displaystyle 180\)
D. \(\displaystyle 216\)
E. \(\displaystyle 72\)
Dari persamaan, diperoleh \(\displaystyle x_1+x_2=6\) \(\displaystyle x_1x_2=2\) Gunakan identitas \(\displaystyle x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)\) Substitusikan. \(\displaystyle x_1^3+x_2^3=6^3-3(2)(6)\) \(\displaystyle x_1^3+x_2^3=216-36\) \(\displaystyle x_1^3+x_2^3=180\) Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 31
Jika \(\displaystyle x_1\) dan \(\displaystyle x_2\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle 5x^2+2x-3=0\), maka nilai \(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\) adalah ….
A. \(\displaystyle \frac{2}{5}\)
B. \(\displaystyle \frac{3}{2}\)
C. \(\displaystyle -\frac{2}{3}\)
D. \(\displaystyle \frac{2}{3}\)
E. \(\displaystyle -\frac{3}{2}\)
Gunakan sifat akar. \(\displaystyle x_1+x_2=-\frac{2}{5}\) \(\displaystyle x_1x_2=-\frac{3}{5}\) Kemudian, \(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\) \(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{3}{5}}\) \(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{2}{3}\) Jadi, jawabannya adalah D.
Soal 32
Jika \(\displaystyle x_1\) dan \(\displaystyle x_2\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle 2x^2-8x+5=0\), maka nilai \(\displaystyle \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\) adalah ….
A. \(\displaystyle \frac{11}{25}\)
B. \(\displaystyle \frac{25}{44}\)
C. \(\displaystyle \frac{44}{25}\)
D. \(\displaystyle \frac{21}{25}\)
E. \(\displaystyle \frac{25}{21}\)
Dari persamaan diperoleh \(\displaystyle x_1+x_2=4\) \(\displaystyle x_1x_2=\frac{5}{2}\) Hitung lebih dulu \(\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\) \(\displaystyle x_1^2+x_2^2=4^2-2\left(\frac{5}{2}\right)\) \(\displaystyle x_1^2+x_2^2=16-5\) \(\displaystyle x_1^2+x_2^2=11\) Sekarang hitung \(\displaystyle \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}\) \(\displaystyle \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{11}{\left(\frac{5}{2}\right)^2}\) \(\displaystyle \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{11}{\frac{25}{4}}\) \(\displaystyle \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{44}{25}\) Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 33
Jika akar-akar persamaan \(\displaystyle 3x^2+x-4=0\) adalah \(\displaystyle x_1\) dan \(\displaystyle x_2\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(\displaystyle x_1+1\) dan \(\displaystyle x_2+1\) adalah ….
A. \(\displaystyle 3y^2+5y-2=0\)
B. \(\displaystyle 3y^2-5y-2=0\)
C. \(\displaystyle y^2-5y-2=0\)
D. \(\displaystyle 3y^2-2y-5=0\)
E. \(\displaystyle y^2+5y-2=0\)
Dari persamaan awal, \(\displaystyle x_1+x_2=-\frac{1}{3}\) \(\displaystyle x_1x_2=-\frac{4}{3}\) Misalkan akar baru adalah \(\displaystyle y_1=x_1+1\) \(\displaystyle y_2=x_2+1\) Jumlah akar baru: \(\displaystyle y_1+y_2=x_1+x_2+2\) \(\displaystyle y_1+y_2=-\frac{1}{3}+2\) \(\displaystyle y_1+y_2=\frac{5}{3}\) Hasil kali akar baru: \(\displaystyle y_1y_2=(x_1+1)(x_2+1)\) \(\displaystyle y_1y_2=x_1x_2+x_1+x_2+1\) \(\displaystyle y_1y_2=-\frac{4}{3}-\frac{1}{3}+1\) \(\displaystyle y_1y_2=-\frac{2}{3}\) Persamaan barunya \(\displaystyle y^2-\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}=0\) Kalikan dengan \(\displaystyle 3\). \(\displaystyle 3y^2-5y-2=0\) Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 34
Jika akar-akar persamaan \(\displaystyle x^2-5x+6=0\) adalah \(\displaystyle x_1\) dan \(\displaystyle x_2\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(\displaystyle 2x_1\) dan \(\displaystyle 2x_2\) adalah ….
A. \(\displaystyle y^2-10y+24=0\)
B. \(\displaystyle y^2-5y+12=0\)
C. \(\displaystyle y^2-10y+12=0\)
D. \(\displaystyle 2y^2-10y+24=0\)
E. \(\displaystyle y^2-12y+10=0\)
Dari persamaan awal, \(\displaystyle x_1+x_2=5\) \(\displaystyle x_1x_2=6\) Jumlah akar baru: \(\displaystyle 2x_1+2x_2=10\) Hasil kali akar baru: \(\displaystyle (2x_1)(2x_2)=24\) Persamaan baru dengan akar-akar tersebut adalah \(\displaystyle y^2-10y+24=0\) Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 35
Persamaan kuadrat monik yang jumlah akar-akarnya \(\displaystyle 7\) dan hasil kali akar-akarnya \(\displaystyle 10\) adalah ….
A. \(\displaystyle x^2+7x+10=0\)
B. \(\displaystyle x^2-7x+10=0\)
C. \(\displaystyle x^2+10x-7=0\)
D. \(\displaystyle x^2-10x+7=0\)
E. \(\displaystyle x^2-7x-10=0\)
Untuk persamaan monik, bentuknya adalah \(\displaystyle x^2-Sx+P=0\) dengan \(\displaystyle S\) jumlah akar dan \(\displaystyle P\) hasil kali akar. Substitusi \(\displaystyle S=7\) \(\displaystyle P=10\) Diperoleh \(\displaystyle x^2-7x+10=0\) Jadi, jawabannya adalah B.
E. Diskriminan dan Jenis Akar
Soal 36
Jenis akar dari persamaan \(\displaystyle x^2-4x+7=0\) adalah ….
A. dua akar real berbeda
B. dua akar real kembar
C. dua akar real rasional
D. tidak mempunyai akar real
E. satu akar nol
Hitung diskriminan. \(\displaystyle D=(-4)^2-4(1)(7)\) \(\displaystyle D=16-28\) \(\displaystyle D=-12\) Karena \(\displaystyle D<0\), persamaan tidak mempunyai akar real. Jadi, jawabannya adalah D.
Soal 37
Jenis akar persamaan \(\displaystyle 4x^2-12x+9=0\) adalah ….
A. dua akar real berbeda
B. dua akar real kembar
C. dua akar irasional
D. tidak mempunyai akar real
E. satu akar positif dan satu negatif
Hitung diskriminan. \(\displaystyle D=(-12)^2-4(4)(9)\) \(\displaystyle D=144-144\) \(\displaystyle D=0\) Karena \(\displaystyle D=0\), persamaan mempunyai dua akar real kembar. Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 38
Jenis akar persamaan \(\displaystyle 3x^2+2x-5=0\) adalah ….
A. dua akar real berbeda dan rasional
B. dua akar real kembar
C. tidak mempunyai akar real
D. dua akar real berbeda dan irasional
E. satu akar nol
Hitung diskriminan. \(\displaystyle D=2^2-4(3)(-5)\) \(\displaystyle D=4+60\) \(\displaystyle D=64\) Karena \(\displaystyle D>0\), ada dua akar real berbeda. Karena \(\displaystyle 64\) adalah kuadrat sempurna, akarnya rasional. Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 39
Nilai \(\displaystyle k\) agar persamaan \(\displaystyle x^2+2kx+k+3=0\) mempunyai akar kembar adalah ….
A. \(\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\)
B. \(\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}\)
C. \(\displaystyle 1\pm\sqrt{13}\)
D. \(\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)
E. \(\displaystyle \pm\sqrt{13}\)
Akar kembar berarti diskriminan nol. \(\displaystyle (2k)^2-4(1)(k+3)=0\) \(\displaystyle 4k^2-4k-12=0\) Bagi dengan \(\displaystyle 4\). \(\displaystyle k^2-k-3=0\) Gunakan rumus abc. \(\displaystyle k=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\) Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 40
Nilai \(\displaystyle m\) agar persamaan \(\displaystyle 2x^2+(m-1)x+2=0\) mempunyai dua akar real berbeda adalah ….
A. \(\displaystyle -3<m<5\)
B. \(\displaystyle m\le-3\) atau \(\displaystyle m\ge5\)
C. \(\displaystyle m<-3\) atau \(\displaystyle m>5\)
D. \(\displaystyle m> -3\) saja
E. \(\displaystyle m<5\) saja
Dua akar real berbeda berarti \(\displaystyle D>0\) Hitung diskriminan. \(\displaystyle (m-1)^2-4(2)(2)>0\) \(\displaystyle (m-1)^2-16>0\) Gunakan selisih dua kuadrat. \(\displaystyle (m-5)(m+3)>0\) Penyelesaian pertidaksamaan ini adalah \(\displaystyle m<-3\) atau \(\displaystyle m>5\) Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 41
Agar persamaan \(\displaystyle x^2-(p+2)x+2p+5=0\) tidak mempunyai akar real, maka nilai \(\displaystyle p\) harus memenuhi ….
A. \(\displaystyle p<2-2\sqrt{5}\) atau \(\displaystyle p>2+2\sqrt{5}\)
B. \(\displaystyle 2-2\sqrt{5}<p<2+2\sqrt{5}\)
C. \(\displaystyle p\le2-2\sqrt{5}\) atau \(\displaystyle p\ge2+2\sqrt{5}\)
D. \(\displaystyle p=2\pm2\sqrt{5}\)
E. \(\displaystyle p>0\)
Tidak mempunyai akar real berarti \(\displaystyle D<0\) Hitung diskriminan. \(\displaystyle D=(p+2)^2-4(1)(2p+5)\) \(\displaystyle D=p^2+4p+4-8p-20\) \(\displaystyle D=p^2-4p-16\) Syaratnya \(\displaystyle p^2-4p-16<0\) Akar-akar persamaan batasnya adalah \(\displaystyle p=2\pm2\sqrt{5}\) Karena koefisien kuadrat positif, bentuk kuadrat bernilai negatif di antara kedua akar. Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 42
Agar persamaan \(\displaystyle 3x^2+qx+3=0\) mempunyai akar real, maka nilai \(\displaystyle q\) harus memenuhi ….
A. \(\displaystyle -6<q<6\)
B. \(\displaystyle q=6\)
C. \(\displaystyle q=-6\)
D. \(\displaystyle q\le-6\) atau \(\displaystyle q\ge6\)
E. \(\displaystyle q>6\)
Akar real berarti \(\displaystyle D\ge0\) Hitung diskriminan. \(\displaystyle q^2-4(3)(3)\ge0\) \(\displaystyle q^2-36\ge0\) \(\displaystyle (q-6)(q+6)\ge0\) Penyelesaiannya adalah \(\displaystyle q\le-6\) atau \(\displaystyle q\ge6\) Jadi, jawabannya adalah D.
Soal 43
Agar persamaan \(\displaystyle x^2-(a+1)x+a=0\) mempunyai dua akar real berbeda, maka nilai \(\displaystyle a\) adalah ….
A. \(\displaystyle a>1\)
B. \(\displaystyle a<1\)
C. \(\displaystyle a=1\)
D. \(\displaystyle a\ne1\)
E. semua real tidak boleh nol
Hitung diskriminan. \(\displaystyle D=(a+1)^2-4a\) \(\displaystyle D=a^2+2a+1-4a\) \(\displaystyle D=a^2-2a+1\) \(\displaystyle D=(a-1)^2\) Agar akar real berbeda, harus berlaku \(\displaystyle D>0\) Maka \(\displaystyle (a-1)^2>0\) Hal itu berlaku untuk semua \(\displaystyle a\) kecuali \(\displaystyle a=1\). Jadi, jawabannya adalah D.
Soal 44
Agar persamaan \(\displaystyle x^2+tx+9=0\) mempunyai dua akar real yang keduanya positif, maka nilai \(\displaystyle t\) adalah ….
A. \(\displaystyle t\ge6\)
B. \(\displaystyle t\le-6\)
C. \(\displaystyle -6\le t\le6\)
D. \(\displaystyle t<0\)
E. \(\displaystyle t>0\)
Agar akar real, harus \(\displaystyle D=t^2-36\ge0\) Sehingga \(\displaystyle t\le-6\) atau \(\displaystyle t\ge6\) Agar kedua akar positif, jumlah akar harus positif. \(\displaystyle x_1+x_2=-t>0\) Maka \(\displaystyle t<0\) Gabungkan dengan syarat sebelumnya. Diperoleh \(\displaystyle t\le-6\) Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 45
Agar persamaan \(\displaystyle 2x^2+(k-3)x-(k+1)=0\) mempunyai dua akar yang berlainan tanda, maka nilai \(\displaystyle k\) adalah ….
A. \(\displaystyle k<-1\)
B. \(\displaystyle k>-1\)
C. \(\displaystyle k=1\)
D. \(\displaystyle k\ge-1\)
E. \(\displaystyle k\le-1\)
Akar berlainan tanda berarti hasil kali akar negatif. Gunakan sifat \(\displaystyle x_1x_2=\frac{c}{a}\) Maka \(\displaystyle x_1x_2=\frac{-(k+1)}{2}\) Syaratnya \(\displaystyle \frac{-(k+1)}{2}<0\) \(\displaystyle -(k+1)<0\) \(\displaystyle k+1>0\) \(\displaystyle k>-1\) Periksa diskriminan. \(\displaystyle D=(k-3)^2-4(2)(-(k+1))\) \(\displaystyle D=(k-3)^2+8(k+1)\) \(\displaystyle D=k^2+2k+17\) Nilai ini selalu positif, jadi akar real memang ada. Jadi, jawabannya adalah B.
F. Soal Aplikasi dan HOTS Ringan
Soal 46
Sebuah persegi panjang mempunyai luas \(\displaystyle 48\) cm². Panjangnya \(\displaystyle 2\) cm lebih besar daripada lebarnya. Ukuran persegi panjang tersebut adalah ….
A. lebar \(\displaystyle 4\) cm dan panjang \(\displaystyle 12\) cm
B. lebar \(\displaystyle 5\) cm dan panjang \(\displaystyle 7\) cm
C. lebar \(\displaystyle 6\) cm dan panjang \(\displaystyle 8\) cm
D. lebar \(\displaystyle 3\) cm dan panjang \(\displaystyle 16\) cm
E. lebar \(\displaystyle 8\) cm dan panjang \(\displaystyle 10\) cm
Misalkan lebar \(\displaystyle x\) cm, maka panjangnya \(\displaystyle x+2\) cm. Karena luasnya \(\displaystyle 48\) cm², berlaku \(\displaystyle x(x+2)=48\) \(\displaystyle x^2+2x-48=0\) Faktorkan. \(\displaystyle (x+8)(x-6)=0\) Maka \(\displaystyle x=-8\) atau \(\displaystyle x=6\) Ukuran tidak mungkin negatif, jadi lebar \(\displaystyle 6\) cm. Panjangnya \(\displaystyle 6+2=8\) Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 47
Jika akar-akar persamaan \(\displaystyle 2x^2-6x+k=0\) adalah \(\displaystyle x_1\) dan \(\displaystyle x_2\) serta memenuhi \(\displaystyle x_1^2+x_2^2=5\), maka nilai \(\displaystyle k\) adalah ….
A. \(\displaystyle 2\)
B. \(\displaystyle 3\)
C. \(\displaystyle 4\)
D. \(\displaystyle 5\)
E. \(\displaystyle 6\)
Dari persamaan diperoleh \(\displaystyle x_1+x_2=3\) \(\displaystyle x_1x_2=\frac{k}{2}\) Gunakan identitas \(\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\) Substitusikan. \(\displaystyle 5=3^2-2\left(\frac{k}{2}\right)\) \(\displaystyle 5=9-k\) \(\displaystyle k=4\) Jadi, jawabannya adalah C.
Soal 48
Jika \(\displaystyle \alpha\) dan \(\displaystyle \beta\) adalah akar-akar persamaan \(\displaystyle x^2-4x-1=0\), maka nilai \(\displaystyle \alpha^4+\beta^4\) adalah ….
A. \(\displaystyle 322\)
B. \(\displaystyle 324\)
C. \(\displaystyle 180\)
D. \(\displaystyle 256\)
E. \(\displaystyle 196\)
Dari persamaan diperoleh \(\displaystyle \alpha+\beta=4\) \(\displaystyle \alpha\beta=-1\) Hitung dahulu \(\displaystyle \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) \(\displaystyle \alpha^2+\beta^2=4^2-2(-1)\) \(\displaystyle \alpha^2+\beta^2=18\) Karena \(\displaystyle \alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=1\) maka \(\displaystyle \alpha^4+\beta^4=(\alpha^2+\beta^2)^2-2\alpha^2\beta^2\) \(\displaystyle \alpha^4+\beta^4=18^2-2(1)\) \(\displaystyle \alpha^4+\beta^4=324-2\) \(\displaystyle \alpha^4+\beta^4=322\) Jadi, jawabannya adalah A.
Soal 49
Jika \(\displaystyle \alpha\) dan \(\displaystyle \beta\) merupakan akar-akar persamaan \(\displaystyle 2x^2-5x-3=0\), maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya \(\displaystyle \alpha^2\) dan \(\displaystyle \beta^2\) adalah ….
A. \(\displaystyle y^2-37y+9=0\)
B. \(\displaystyle 4y^2-37y+9=0\)
C. \(\displaystyle 4y^2+37y+9=0\)
D. \(\displaystyle 2y^2-37y+9=0\)
E. \(\displaystyle y^2-\frac{37}{4}y+9=0\)
Dari persamaan awal, \(\displaystyle \alpha+\beta=\frac{5}{2}\) \(\displaystyle \alpha\beta=-\frac{3}{2}\) Jumlah akar baru: \(\displaystyle \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\) \(\displaystyle \alpha^2+\beta^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2-2\left(-\frac{3}{2}\right)\) \(\displaystyle \alpha^2+\beta^2=\frac{25}{4}+3\) \(\displaystyle \alpha^2+\beta^2=\frac{37}{4}\) Hasil kali akar baru: \(\displaystyle \alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2\) \(\displaystyle \alpha^2\beta^2=\left(-\frac{3}{2}\right)^2\) \(\displaystyle \alpha^2\beta^2=\frac{9}{4}\) Persamaan dengan akar-akar tersebut adalah \(\displaystyle y^2-\frac{37}{4}y+\frac{9}{4}=0\) Kalikan dengan \(\displaystyle 4\). \(\displaystyle 4y^2-37y+9=0\) Jadi, jawabannya adalah B.
Soal 50
Jika akar-akar persamaan kuadrat \(\displaystyle x^2-9x+c=0\) saling berhubungan sehingga salah satu akar dua kali akar yang lain, maka nilai \(\displaystyle c\) adalah ….
A. \(\displaystyle 12\)
B. \(\displaystyle 15\)
C. \(\displaystyle 18\)
D. \(\displaystyle 21\)
E. \(\displaystyle 27\)
Misalkan akar-akarnya adalah \(\displaystyle r\) dan \(\displaystyle 2r\). Jumlah akar: \(\displaystyle r+2r=9\) \(\displaystyle 3r=9\) \(\displaystyle r=3\) Maka akar-akar itu adalah \(\displaystyle 3\) dan \(\displaystyle 6\). Hasil kali akar sama dengan konstanta karena persamaan monik. \(\displaystyle c=3\cdot6\) \(\displaystyle c=18\) Jadi, jawabannya adalah C.
Refleksi
- Kapan faktorisasi lebih efisien dibanding rumus abc?
- Mengapa diskriminan cukup untuk menentukan jenis akar tanpa menghitung akar-akarnya?
- Apa keuntungan menggunakan sifat jumlah dan hasil kali akar pada soal transformasi akar?
- Jika sebuah persamaan sulit difaktorkan, strategi apa yang paling aman digunakan?
Kesimpulan
Persamaan kuadrat kelas X merupakan materi penting karena menjadi dasar untuk banyak topik matematika lanjutan. Bentuk umumnya adalah \(\displaystyle ax^2+bx+c=0\) dengan \(\displaystyle a\ne0\). Akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan melalui faktorisasi, melengkapkan kuadrat sempurna, atau rumus abc. Selain itu, hubungan jumlah dan hasil kali akar sangat membantu menyelesaikan soal secara lebih cepat. Jenis akar dapat ditentukan melalui diskriminan, yaitu \(\displaystyle D=b^2-4ac\).
Dengan memahami konsep dan banyak berlatih soal pilihan ganda seperti pada materi ini, kemampuanmu dalam menyelesaikan persamaan kuadrat akan menjadi lebih kuat, lebih cepat, dan lebih teliti.
FAQ
Apa itu persamaan kuadrat?
Persamaan kuadrat adalah persamaan satu variabel dengan pangkat tertinggi dua, berbentuk \(\displaystyle ax^2+bx+c=0\) dengan \(\displaystyle a\ne0\).
Apa perbedaan akar real kembar dan akar real berbeda?
Akar real kembar terjadi saat \(\displaystyle D=0\), sedangkan akar real berbeda terjadi saat \(\displaystyle D>0\).
Kapan sebaiknya menggunakan rumus abc?
Gunakan rumus abc saat persamaan sulit difaktorkan atau ketika kamu ingin memakai metode yang berlaku umum untuk semua persamaan kuadrat.
Bagaimana cara cepat menentukan jumlah dan hasil kali akar?
Gunakan sifat \(\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) dan \(\displaystyle x_1x_2=\frac{c}{a}\).
Mengapa materi persamaan kuadrat penting?
Karena materi ini menjadi dasar untuk fungsi kuadrat, pertidaksamaan kuadrat, grafik parabola, dan berbagai masalah aplikasi dalam matematika.
