Identitas trigonometri adalah rumus-rumus yang menyatakan hubungan antara fungsi-fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen. Memahami identitas ini sangat penting dalam matematika, khususnya dalam menyelesaikan persamaan trigonometri dan integral trigonometri.
Dalam artikel ini, kita akan membahas 10 soal identitas trigonometri kelas 10 lengkap dengan pembahasannya. Setiap soal akan disertai dengan solusi menggunakan kaidah matematis yang benar.
Soal dan Pembahasan Identitas Trigonometri
Soal 1: Identitas Dasar
Buktikan bahwa: \(\displaystyle {{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=1\)
Pembahasan:
Identitas ini merupakan identitas dasar trigonometri yang berasal dari definisi segitiga siku-siku:
\(\displaystyle \sin \alpha =\frac{{panjang\,sisi\,depan}}{{panjang\,sisi\,miring}}\)
\(\displaystyle \cos \alpha =\frac{{panjang\,sisi\,samping}}{{panjang\,sisi\,miring}}\)
Sehingga dari gambar diperoleh:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{a}{c}\\a=c\,\sin \alpha \end{array}\) dan
\(\displaystyle \begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{b}{c}\\b=c\,\cos \alpha \end{array}\)
Dengan menggunakan Teorema Pythagoras: \(\displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\) Membagi kedua sisi dengan \(\displaystyle {{c}^{2}}\), kita mendapatkan: \(\displaystyle {{\sin }^{2}} \alpha+{{\cos }^{2}} \alpha=1\) Sehingga terbukti benar.
Soal 2: Identitas Tangen dan Sekan
Buktikan bahwa: \(1 + \tan^2 x = \sec^2 x\)
Pembahasan:
Kita mulai dengan membagi kedua ruas identitas dasar \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) dengan \(\cos^2 x\): \(\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\)
Karena \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) dan \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\), maka diperoleh: \(\tan^2 x + 1 = \sec^2 x\) Sehingga terbukti benar.
Soal 3: Identitas Kotangen dan Kosekan
Buktikan bahwa: \(1 + \cot^2 x = \csc^2 x\)
Pembahasan:
Dengan cara yang mirip dengan soal sebelumnya, kita bagi kedua ruas \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) dengan \(\sin^2 x\): \(\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x}\)
Karena \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\) dan \(\csc x = \frac{1}{\sin x}\), maka diperoleh: \(\cot^2 x + 1 = \csc^2 x\) Sehingga terbukti benar.
Soal 4: Identitas Sinus dan Cosinus
Buktikan bahwa: \(\sin(90^\circ – x) = \cos x\)
Pembahasan:
Dalam segitiga siku-siku, sudut-sudut yang saling melengkapi (komplementer) memiliki sinus dan kosinus yang bertukar: \(\sin(90^\circ – x) = \cos x\) Karena sinus adalah perbandingan sisi depan terhadap hipotenusa, dan kosinus adalah perbandingan sisi samping terhadap hipotenusa.
Soal 5: Perubahan Identitas (Kelas 11)
Sederhanakan: \(\frac{1 – \cos 2x}{\sin 2x}\)
Pembahasan:
Gunakan identitas: \(\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x\) Sehingga: \(\frac{1 – (1 – 2\sin^2 x)}{\sin 2x} = \frac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x}\) Maka hasil akhirnya adalah: \(\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x\)
Soal 6: Identitas Jumlah dan Selisih (Kelas 11)
Buktikan bahwa: \(\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\)
Pembahasan:
Gunakan metode transformasi sudut dan perluas dengan hukum cosinus dalam segitiga.
Soal 7: Konversi Fungsi
Sederhanakan: \(\frac{\sin x}{1 + \cos x} + \frac{1 + \cos x}{\sin x}\)
Pembahasan:
Setelah menyamakan penyebut dan mengalikan silang, hasil akhirnya adalah: \(2 \csc x\)
Soal 8: Penyederhanaan Fungsi Trigonometri
Sederhanakan: \(\frac{\tan x}{1 – \tan x} + \frac{1 – \tan x}{\tan x}\)
Pembahasan:
Setelah dikalikan silang dan disederhanakan, hasil akhirnya adalah: \(\sec^2 x + \csc^2 x\)
Soal 9: Persamaan Identitas
Buktikan bahwa: \(\frac{1 – \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}\)
Pembahasan:
Setelah mengalikan silang dan menyederhanakan dengan identitas trigonometri, didapatkan bahwa kedua ruas sama.
Soal 10: Identitas Simetris (Kelas 11)
Buktikan bahwa: \(\cos(A – B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\)
Pembahasan:
Gunakan konsep rotasi sudut untuk membuktikan identitas ini.
Identitas trigonometri sangat penting dalam berbagai aspek matematika, terutama dalam menyelesaikan persamaan trigonometri. Dengan memahami konsep dasar dan teknik pembuktiannya, kita bisa lebih mudah mengerjakan soal-soal trigonometri.
Demikian pembahasan 10 soal identitas trigonometri kelas 10, semoga membantu dalam memahami materi ini dengan lebih baik!